たけのこ赤軍の自由帳

数論とかNonaReevesとかが好きな高校生のブログ。

q-多重ガンマの話

この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:
Prince - Controversy


Prince - Controversy - 01/30/82 - Capitol Theatre (OFFICIAL)



q-多重ガンマ関数、というのがあります。ガンマ関数は皆さんご存知、階乗の一般化です。指数関数のメリン変換とかいわれるのが多いですね。

んで、多重ガンマ関数というのはガンマ関数の「多重化」というものです。いろいろ変数を増やして一般化したもので、「一重ガンマ関数」は普通のガンマ関数にあたります。

要するにq-多重ガンマというのは多重ガンマ関数のq-類似というわけですね。q-類似というのは既存の概念(関数とか)に q という新しいparameterを導入して一般化することです。q\rightarrow{1} の極限で元の概念になるように定めるものです。


数学(とくに解析学)に出てくるモノになんでもかんでもqをくっつけて遊ぶことを「q-解析」といいます。

数学というのは「数を学ぶ」と書きますので、当然最も基本的なモノは「数」ですね。古代からヒトは数をいじって遊んでおりました。現代でも小さい子供がお風呂に入ると「百まで数えてから出なさい」とか言われたりしますね。

そうするとお風呂に入れられた子供は「ただ一から百まで数えるのもつまらないから、q-一からq-百まで数えよう」と思うわけですね。一生懸命に「いち、いちたすq、いちたすqたすq^2」という具合に数えていくわけです。

そう、自然数 n のq-類似は 1+\cdots+q^{n-1} になるのです。「なるのです」というかそう定めるのです。もちろん (1-q^n)(1-q)^{-1} とも書けますね。こっちのほうがカッコええな。



では自然数が定まったところで、q-多重ガンマを作りましょう・・・と言いたいところですが、まずその前にq-解析で非常によく出てくるやつを定めます。

\displaystyle (a;q)_{\infty}=\prod_{n\geq{0}} (1-aq^n)

これはq-ポッホハマー記号とかいうやつです。a とか q とかの範囲は割とどうでもいいですがまぁ気になる方は |q|<1 とでもしておいてください。

さてこいつには右下に \infty の記号がついておりますね。要するにこいつはq-ポッホハマーの中でも「無限版」だということです。

無限版があるということは当然有限版もありますね。それはこんな感じです:

\displaystyle (a;q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})

見れば分かるように (a;q)_n=(a;q)_{\infty}(a;q^n)_{\infty}^{-1} とも書けますね。



さて「q-ポッホハマー記号」なんて名前をしてるということは当然qを付ける前の「ポッホハマー記号」もあるというわけですが、こいつは割と有名なもので、

(a)_n=a(a+1)\cdot\cdots\cdot(a+n-1)

っていうやつです。「階乗冪」とか言ったりしますね。ぼくは「shifted factorial」って言い方がカッコよくて好きです。

q-ポッホハマーを元のポッホハマーに戻すにはちょっとした補正が必要で、だいたいこんな感じです:

\displaystyle \lim_{q\rightarrow{1}} (a;q)_n(1-q)^{-n}=(a)_n



んでq-ポッホハマーなんか作って何をするんやという話なのですが、まず「正規積」というものを思い出してください。ぼくが何回かブログに出してたはずです。

その正規積を使って、多重ガンマ \Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}}) はこう書けるのです:

\displaystyle \Gamma_r(w,{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\prod_{{\bf n}\geq{{\bf 0}}} ({\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}+w)

記号の意味は
o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com
を見てください。

さてこいつのq-類似をつくりたいのですが、非常に単純な発想でできます。右辺の積の因子をq-類似にしてやればいいだけです。

さきほど自然数のq-類似を定めましたが、より一般に複素数 z に対してもこれのq-類似を (1-q^z)(1-q)^{-1} として定めることができます。ロピタルの定理を使えばq→1で一致することは示せます。

というわけで、こんなものを作りましょう:

\displaystyle \Gamma_r^q(w,{\boldsymbol{\omega}})^{-1}=\prod_{{\bf n}\geq{\bf 0}} (1-q^{{\bf n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}+w})

ほんとうは右辺の積の因子に (1-q)^{-1} がかかっていないとまずいのですが、この積は上記 \Gamma_r と違って正規積ではないので(本当は記号が違うのですが、はてなブログでは正規積記号に対応していませんでした、申し訳ない)、その因子をつけると収束がメンドくなります。


さて、こいつで r=1 の場合を考えてみましょう。要するに「一重」のケースですね。なんとこうなります:

\Gamma_1^q(w,\omega_1)=(q^w;q^{\omega_1})_{\infty}^{-1}

そらそうやな。さらに \omega_1=1 としてみましょう:

\Gamma_1^q(w,1)=(q^w;q)_{\infty}^{-1}

右辺は一種のテータ関数みたいなもん(ヤコビ三重積の因子と思ってもらえればわかりやすいかも)なので、テータをガンマ(の一般化)で書けたことになりますね。カッコええやろ。

もちろんq-多重ガンマには面白い成分がいっぱい詰まっておるのですが、今回はこの辺で。