たけのこ赤軍の自由帳

反復積分とNona ReevesとPrinceとRED SPIDER

complex-weighted gamma function

内容がある記事ではないですが, とりあえず (誰もやっていなかったのなら) ぼくが真っ先に考えた関数, ということを証明するためにここにメモしておきます.

複素数 \alpha に対し, complex-weighted Hurwitz zeta function を以下で定めます:

\begin{eqnarray*}\displaystyle \zeta^{\alpha}(s,w)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty} \frac{e^{-wt}}{(1-e^{-t})^{\alpha}}t^{s-1}\,dt.\end{eqnarray*}

ここから complex-weighted gamma function を \log\Gamma^{\alpha}(w)=\frac{\partial}{\partial s}\zeta^{\alpha}(0,w) で定めます. もちろん \Gamma^{1}(w)=\Gamma(w)/\sqrt{2\pi}.



より一般に, {\boldsymbol{\alpha}}\in\mathbb{C}^r に対し complex-weighted Barnes multiple zeta functions を

\begin{eqnarray*}\displaystyle \zeta^{\boldsymbol{\alpha}}_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty} \frac{e^{-wt}}{\prod_{i=1}^r(1-e^{-\omega_it})^{\alpha_i}}t^{s-1}\,dt.\end{eqnarray*}

で定め, s=-k での微分係数\log \Gamma^{{\boldsymbol{\alpha}}}_r(w;{\boldsymbol{\omega}}) とします. これを complex-weighted multiple gamma functions と呼ぶことにします.