depth 2 の和公式と超幾何定理
この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:
Tevin Campbell - Shhh
Tevin Campbell - Shhh (Break It Down)
ゼータ Advent Calendar 2019 - Adventar へようこそ。本記事は 2 日目の記事です。
再び盛大に遅れてすみません。理由は私の怠惰です。
ここ最近 MZV (多重ゼータ値) の記事が多いですね。今回も例に漏れずそうです。
MZV に関して、和公式 (sum formula) という定理があります。まずはそれについて復習しましょう:
言葉の定義は毎度毎度やっていますが、今回も必要な分だけ書きます。
を正整数とし、 を正整数 個の組とします。このような をインデックスと呼びます。最後の成分 が 以上のとき、 を許容インデックス (admissible index, 略して adm. index とも) と呼びます。成分の個数 を を depth、成分の和 を の weight と呼び、それぞれ と書くことにします。
許容インデックス に対し、多重ゼータ値 (multiple zeta value, MZV) を以下で定義します:
が許容的なのでこの級数は収束します。
また、正整数 と に対して集合 と をそれぞれ
と定めます。このとき和公式が次のように state されます:
[定理 (和公式)]
正整数 と に対して
.
平たく言うと "weight と depth を固定した MZV の和が Riemann ゼータ値になる" という定理ですね。
今回はその中でも、depth が のケースについて扱います。まともに書くなら、正整数 に対し
という感じですね。
私の Twitter のフォロワーである NKSΣ (@nkswtr) 君がこの等式の超幾何級数を用いた証明を発見し、その方法がどうも新しそうだということで記事にしました。(本人に許可はとっています)
[depth 2 の和公式の新証明]
まずは超幾何定理について紹介します。複素パラメータ と変数 に対し
と定めます。ここで正整数 に対し であり、 です。また、 とおきました。
この級数に対し、次のような定理が成り立ちます:
[定理 (Gauss の超幾何定理)]
のとき
.
証明は簡単です。例えば
をご覧ください。
次にいくつか記号を導入します。複素数 と正整数 に対し
とおきます。また とします。見ればわかるように
ですね。また、複素パラメータ と変数 に対し
超幾何定理の両辺を微分すると明らかに
がわかります。ここで はガンマ関数の対数微分です。
ここで を に、 を に、 を に置き換えると
となります。両辺 で割ると
ですね。ここからの計算がちょっと面倒です。両辺 で微分して を掛けます:
となります。さてここから という極限をとることを考えます。左辺は
となることが簡単にわかります。ここで です。右辺がこれまためんどくさいのですが、前の因子 は のとき という具合の展開を持つので、後ろの因子が に零点を持つことを使えば
の の極限を考えればいいことになりますね。 のとき
となるので、
がわかります。したがって
を得ました。*2
最後のパートとして、ここから両辺を で高階微分することを考えていきます。 を正整数として左辺を 階微分し、 とすると となります。一方で、よく知られた事実として、Hurwitz ゼータ関数
と書けるというものがあります。これを使うと右辺の 階微分が
となります。 とすると (右辺は Riemann ゼータ) なので、結局
という具合です。ただし最後の変形では であることを使いました。両辺 で割ると
ですが、ここで簡単な等式*4
を右辺のゼータ値の積のところに適用すると
が出てきます。カッコ内を移項すると和公式の証明が完成します。[証明終わり]
本当に新しいかどうかは (MathSciNet とかを使ってまでは) 確かめていませんが、面白い証明であることには変わりなさそうです。この素晴らしい証明を考えついた NKSΣ 君に尊敬の意を表します。