たけのこ赤軍の自由帳

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Kaneko-Zagier 予想の概観

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Jermy Budd - All that I needed (was you)




本記事は Zeta Advent Calendar 2020 - Adventar の4日目の記事です。

Introduction

Kaneko-Zagier 予想という未解決問題があります。私が最近もっとも心奪われている予想です。こんなに美しい予想があってよいものだろうかと思っています。本記事は、具体的な~~の定理を示す、というようなものではありませんが、その主張と精密化について簡単に解説することを目標とします。全体を通して、概ね小野先生/関先生の報告記事 [On], [S1] に基づきます。

Finite multiple zeta values

先日の記事
o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com
でも有限多重ゼータ値を導入しましたが、改めて定義を記述します。正の整数の組 (k_1,\ldots,k_r) をしばしばインデックスと呼びます。
次で定まる環を考えましょう:

\begin{align} \AA={\left(\prod_p \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)}\Biggm/ {\left(\bigoplus_p \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)}\end{align}

これを \mathrm{mod}~\pp 整数環と呼ぶことにします (名前の意味は後述)。この環の元は \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} の元 a_p素数を渡る列 (a_p)_p として表され、 (a_p)_p=(b_p)_p であることは直和の定義より "有限個の素数 p を除いて" a_p=b_p が成り立つことと同値です。
また、任意の有理数 a=r/s に対し、素数 ps を割り切らないならば (つまり "s を割り切るような有限個の素数 p を除いて") a_p=(r/s~\mathrm{mod}~p) という元を定めることができるので、\AA\QQ を埋め込むことができて、ゆえに \QQ 代数としての構造が入ります。

さて、素数 p とインデックス \bk=(k_1,\ldots,k_r) に対し、有限和

\begin{align} \zeta_{< p}(\bk)=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r < p}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\end{align}

を考えます。いろいろな呼び方がありますが、本ブログでは 打ち止め多重調和和 truncated multiple harmonic sum と呼ぶことにします。ここから定まる \AA の元

\begin{align} \zeta_{\AA}(\bk)=(\zeta_{< p}(\bk)~\mathrm{mod}~p)_p\end{align}

有限多重ゼータ値 finite multiple zeta value と呼びます。

Symmetric multiple zeta values

o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com
に基づいて、(調和/シャッフル)正規化多項式の定義を思い出しましょう。また、インデックス \bk=(k_1,\ldots,k_r) に対し \overleftarrow{\bk}=(k_r,\ldots,k_1) とおき、0\le i\le r に対し

\begin{align}\bk_{[i]}=(k_1,\ldots,k_i),\qquad \bk^{[i]}=(k_{i+1},\ldots,k_r)\end{align}

とおきます。\overleftarrow{\varnothing}=\varnothing, \bk_{[0]}=\bk^{[r]}=\varnothing と理解しています。また、インデックスの成分の和を \mathrm{wt}(\bk) と書きます。(この記述も上記記事と同一です。) このとき \bullet\in\{\ast,\sh\} に対し

\begin{align}\zeta^{\bullet}_{\SS}(\bk)=\sum_{i=0}^r (-1)^{\mathrm{wt}(\bk^{[i]})}\zeta^{\bullet}(\bk_{[i]};0)\zeta^{\bullet}(\overleftarrow{\bk^{[i]}};0)\end{align}

という値が定まります。正規化多項式は一般に \mathcal{Z}-係数の多項式であり、調和/シャッフル関係式によって積を線型和に分解できることからこれは \mathcal{Z} の元となります。\mathcal{Z}1 とすべての多重ゼータ値が \QQ 上張る空間です。

さて、これでは対称多重ゼータ値は積の選び方によって二通りの異なる定義ができてしまうわけですが、なんと次の定理が成り立ちます。

定理 1.
任意のインデックス \bk に対し

\begin{align}\zeta^{\ast}_{\SS}(\bk)-\zeta^{\sh}_{\SS}(\bk)\in\zeta(2)\mathcal{Z}\end{align}

が成り立つ。

この事実より、商代数 \mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z} において考えればどちらを用いても値が変わらないことがわかるので、その一致する値を \zeta_{\SS}(\bk) と書き 対称多重ゼータ値 symmetric multiple zeta value と呼びます。

Kaneko-Zagier conjecture

空間 \mathcal{Z} と同様に、すべての有限多重ゼータ値と 1\QQ 上生成する \AA の部分集合を \mathcal{Z}_{\AA} と書きます。このとき、Kaneko-Zagier 予想とは次の問題を指します。

予想 2 (Kaneko-Zagier 予想).
対応 \zeta_{\AA}(\bk)\mapsto\zeta_{\SS}(\bk) は well-defined な \QQ-代数の同型 \mathcal{Z}_{\AA}\to\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z} を与える。

この予想が正しければ、有限多重ゼータ値と対称多重ゼータ値は全く同じ関係式を満たす ことになります。まったく異なる定義に思えた二つの多重ゼータ値の変種がこうもきれいに結びつくとは予想もできませんが、それを予想してしまったのが Kaneko-Zagier の両名だというわけです。

実際に正しそうだ、といえる根拠はたくさん見つかっています。多重ゼータ値の関係式族というのは膨大にありますが、その中で (重複するものもありますが)

  • 和公式 (Saito-Wakabayashi [SW] for \AA, Murahara [M1] for \SS.)
  • 双対性 (Hoffman [Ho] for \AA, Hirose [Hi], Jarossay [J1] for \SS.)
  • 巡回和公式 (Kawasaki-Oyama [KO] for \AA, Hirose-Murahara-Ono [HiMOn] for \SS. Hirose-Sato の未出版の結果で \SS での別証明)
  • Ohno 関係式 (Oyama [Oy], Hirose-Imatomi-Murahara-Saito [HIMS]. Seki-Yamamoto [SY] で \AA の結果を精密化)
  • 導分関係式 (Murahara [M2], Horikawa-Murahara-Oyama [HoMOy]. Hirose-Sato の未出版の結果で \SS での別証明)
  • 調和関係式 (Hoffman [Ho1] for \AA, Hirose [Hi], Jarossay [J1], [J2], Ono-Seki-Yamamoto [OSY] for \SS.)
  • シャッフル関係式 (Kaneko-Zagier [KZ] for \AA, Hirose [Hi], Jarossay [J1], [J2], Ono-Seki-Yamamoto [OSY] for \SS.)
  • 二重 Ohno 関係式 (Hirose-Murahara-Onozuka-Sato [HMOS].)

に関しては、\AA および \SS での類似が知られています。それらの証明はまったく異なる方法でなされているケースもありますが、最近の進展では Bachmann-Takeyama-Tasaka [BTT] が q-有限多重調和和 の特殊値を用いることで有限多重ゼータ値と対称多重ゼータ値の双対性を 同時に 導くことに成功しており、Kaneko-Zagier 予想への確かな進歩を感じることができます。

Refinement of KZ-conjecture

本節では、有限/対称多重ゼータ値の一般化を述べ、Kaneko-Zagier 予想のさらなる精密化について紹介します。

正整数 n に対し

\begin{align} \AA_n={\left(\prod_p \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\right)}\Biggm/ {\left(\bigoplus_p \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\right)}\end{align}

という環を考えます。もちろん \AA_1=\AA です。正整数 m,n をとり、m のほうが小さいとき、\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} の元を \mathrm{mod}~p^m することによって自然に準同型 \AA_n\to\AA_m を定めることができます。すると射影系 \{\AA_n\}_n が定まるので、その射影極限

\begin{align}\hA=\varprojlim_n \AA_n\end{align}

を考えることができます。自然な全射 \pi\colon\prod_p \mathbb{Z}_p\to\hA があるので、これによって (有限個を除いた) 素数 p に対し p 進整数 a_p が与えられているとき \hA の元 \pi((a_p)_p) を考えることができます。これを今後 a_{\pp} と書きます。とくに \pp=\pi((p)_p)無限大素数 infinitely large prime と呼びます。各 \AA_n に離散位相を入れると \hA には極限位相が入りますが、これは \pp 進位相と一致して、完備な位相環となります。これは自然な射影 \pi_n\colon\hA\to\AA_n の核を見ることでわかりますが、詳細は Seki [S2, Lemma 2.5] をご覧ください。

以上の準備の下で、インデックス \bk に対し \hA の元

\begin{align}\zeta_{\hA}(\bk)=\zeta_{<\pp}(\bk)\end{align}

\pp 進有限多重ゼータ値 \pp-adic finite multiple zeta value と呼びます。

\pp 進有限多重ゼータ値は、例えば Wolstenholme の定理 \zeta_{\AA_2}(1)=0 のような、素数冪での剰余の公式 (supercongruence というようです) を多重ゼータ値の言葉で取り扱うために Rosen [R] で導入されました。では、Kaneko-Zagier 予想の哲学に則って、\pp 進有限多重ゼータ値に対応する対称多重ゼータ値の一般化はどうなっているのか、という疑問が自然に浮かびます。[HiMOn] によれば Jarossay [J2] で、[OSY] によれば Hirose-Seki の personal communication で定義されたようですが、対応物は t 進対称多重ゼータ値 t-adic symmetric multiple zeta value と呼ばれるもののようです。

さて定義ですが、インデックス \bk=(k_1,\ldots,k_r)\bullet\in\{\ast,\sh\} に対し \mathcal{Z} [ [ t ] ] の元

\begin{align}\zeta^{\sigma,\bullet}(\bk)=\sum_{e_1,\ldots,e_r\ge 0} {\left(\prod_{i=1}^r \binom{k_i+e_i-1}{e_i}\right)}\zeta^{\bullet}(k_1+e_1,\ldots,k_r+e_r;0)t^{e_1+\cdots+e_r}\end{align}

を考えます。これを用いて

\begin{align}\zeta^{\bullet}_{\hS}(\bk)=\sum_{i=0}^r (-1)^{\mathrm{wt}(\bk^{[i]})}\zeta^{\bullet}(\bk_{[i]};0)\zeta^{\sigma,\bullet}(\overleftarrow{\bk^{[i]}};0)\end{align}

とおくと、定理 1 の拡張として次の事実が成り立ちます。

定理 3.
任意のインデックス \bk に対し

\begin{align}\zeta^{\ast}_{\hS}(\bk)-\zeta^{\sh}_{\hS}(\bk)\in\zeta(2)\mathcal{Z}[ [t] ]\end{align}

が成り立つ。

これに基づいて、商代数 (\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[[t]] の元としてこれらを t 進対称多重ゼータ値と呼び \zeta_{\hS}(\bk) と書きます。

ここまでで「\pp 進有限 / t 進対称」多重ゼータ値を定義してきました。いよいよ予想を述べる時間です。Kaneko-Zagier 予想で考えた \mathcal{Z}_{\AA} の対応物として

\begin{align}\mathcal{Z}_{\hA}=\left\{\sum_{n=1}^{\infty} a_n\zeta_{\hA}(\bk_n)\pp^{b_n}\in\hA~\middle|~a_n\in\QQ,~\bk_n:\text{index},~b_n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}~\text{s.t.}~\lim_{n\to\infty} b_n=\infty\right\}\end{align}

を考えます。ここで a_n有理数列、\bk_n はインデックス、b_nn\to\infty で正の無限大に発散するような非負整数列全体を渡ります。

これで準備が整いました。

予想 4.
対応 \zeta_{\hA}(\bk)\mapsto\zeta_{\hS}(\bk) は well-defined な位相環の同型 \phi\colon\mathcal{Z}_{\hA}\to(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[[t]] を与える。



References

[BTT] H. Bachmann, Y. Takeyama and K. Tasaka, Cyclotomic analogues of finite multiple zeta values, Compos. Math. 154 (2018), 2701-2721.
[Hi] M. Hirose, Double shuffle relations for refined symmetric multiple zeta values, Doc. Math. 25 (2020), 365-380.
[Ho1] M. E. Hoffman, The algebra of multiple harmonic series, J. Algebra 194 (1997), 477-495.
[Ho2] M. E. Hoffman, Quasi-symmetric functions and mod p multiple harmonic sums, Kyushu J. Math. 69 (2015), 345–366.
[HIMS] M. Hirose, K. Imatomi, H. Murahara, and S. Saito, Ohno-type relations for classical and finite multiple zeta-star values, arXiv:1806.09299.
[HiMon] M. Hirose, H. Murahara and M. Ono, On variants of symmetric multiple zeta-star values and the cyclic sum formula, arXiv:2001.03832.
[HoMOy] Y. Horikawa, H. Murahara and K. Oyama, A note on derivation relations for multiple zeta values and finite multiple zeta values, arXiv:1809.08389.
[HMOS] M. Hirose, H. Murahara, T. Onozuka, and N. Sato, Linear relations of Ohno sums of multiple zeta values, Indag. Math. (N. S.) 31 (2020), 556-567.
[J1] D. Jarossay, Double mélange des multizêtas finis et multizêtas symétrisés, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Ser I 352 (2014), 767–771.
[J2] D. Jarossay, Adjoint cyclotomic multiple zeta values and cyclotomic multiple harmonic values, arXiv:1412.5099v5.
[KO] N. Kawasaki and K. Oyama, Cyclic sum of finite multiple zeta values, Acta Arith. 195 (2020), 281–288.
[KZ] M. Kaneko and D. Zagier, Finite multiple zeta values, in preparation.
[M1] H. Murahara, A note on finite real multiple zeta values, Kyushu J. Math. 70 (2016), 197-204.
[M2] H. Murahara, Derivation relations for finite multiple zeta values, Int. J. Number Theory 13 (2017), 419-427.
[On] 小野雅隆, 「多重ゼータ値」から「有限多重ゼータ値」へ, 第 26 回整数論サマースクール報告集, 2018.
[Oy] K. Oyama, Ohno-type relation for finite multiple zeta values, Kyushu J. Math. 72 (2018), 277-285.
[OSY] M. Ono, S. Seki and S. Yamamoto, Truncated $t$-adic symmetric multiple zeta values and double shuffle relations, arXiv:2009.04112.
[R] J. Rosen, Asymptotic relations for truncated multiple zeta values, J. London Math. Soc. (2) 91 (2015), 554-572.
[S1] 関真一朗, \mathcal{F}-有限多重ゼータ値」から「\widehat{\mathcal{F}}-有限多重ゼータ値」へ: ただし, \mathcal{F} = \AA or \SS, 第 26 回整数論サマースクール報告集, 2018.
[S] S. Seki, The p-adic duality for the finite star-multiple polylogarithms, Tohoku Math. J. (2) 71 (2019), 111-122.
[SW] S. Saito and N. Wakabayashi, Sum formula for finite multiple zeta values, J. Math. Soc. Japan 67 (2015), 1069-1076.
[SY] S. Seki and S. Yamamoto, Ohno-type identities for multiple harmonic sums, J. Math. Soc. Japan 72 (2020), 673-686.

正規化定理とその一般化

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この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:
西寺郷太 - Bodymoves!

西寺郷太(NONA REEVES)「BODYMOVES!」




本記事は Zeta Advent Calendar 2020 - Adventar の3日目の記事です。

Introduction

正整数の組 (k_1,\ldots,k_r) をインデックスと呼び、k_r\ge 2 であるときインデックスは 許容的 admissible であると呼ばれます。許容的なインデックス \bk=(k_1,\ldots,k_r) に対し多重ゼータ値は級数

\begin{align} \zeta(\bk)=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}} \end{align}

で定義されます。この "許容的" という条件は級数の収束のために保証されているべきで、したがって 1 で終わるインデックスに対しては多重ゼータ値が定義できません。この問題を乗り越えたひとつの結果として、Ihara-Kaneko-Zagier [IKZ] による 正規化 regularization という手続きがあります。多重ゼータ値には 調和積 harmonic productシャッフル積 shuffle product という二つの積構造が隠れており、それらに基づいてそれぞれ 調和正規化 harmonic reguralizationシャッフル正規化 shuffle regularization が定まります。この二つの正規化を繋ぐ重要な結果として 正規化定理 regularization theorem があり、今までに様々な一般化がなされています。本記事では、証明を細かく述べることはしませんが、正規化定理の基本的な主張とその一般化を二つ紹介します。

Regularized polynomials

(許容的でなくてもよい) インデックス \bk=(k_1,\ldots,k_r) と正整数 N に対し

\begin{align}\zeta_{< N}(\bk)=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r < N} \frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\end{align}

とおきます。\bk が許容的であれば \lim_{N\to\infty} \zeta_{< N}(\bk)=\zeta(\bk) となることが容易にわかります。また、Euler 定数を極限

\begin{align} \gamma=\lim_{N\to\infty}\left(\zeta_{< N}(1)-\log N\right)\end{align}

で定めます。このとき、次が成り立ちます。

命題 1.
任意のインデックス \bk に対しある多項式 \zeta^{\ast}(\bk;T) と実数 \ep が存在し、N\to\infty で漸近展開

\begin{align} \zeta_{< N}(\bk)=\zeta^{\ast}(\bk;\log N+\gamma)+O{\left(\frac{\log^{\ep}N}{N}\right)}\end{align}

が成り立つ。

また、許容的でないインデックスに近づくもう一つの方法として、冪級数

\begin{align}\Li_{\bk}(z)=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r < N} \frac{z^{n_r}}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\end{align}

を考える、という方法があります。この場合も上と同様の事実が成り立ちます。

命題 2.
任意のインデックス \bk に対しある多項式 \zeta^{\sh}(\bk;T) と実数 \ep が存在し、z\uparrow 0 で漸近展開

\begin{align} \zeta_{< N}(\bk)=\zeta^{\sh}(\bk;-\log(1-z))+O( (1-z)\log^{\ep}(1-z) )\end{align}

が成り立つ。

多項式 \zeta^{\ast}(\bk;T), \zeta^{\sh}(\bk;T) はそれぞれ 調和正規化多項式 harmonic regularized polynomial, シャッフル正規化多項式 shuffle regurlarzed polynomial と呼ばれます。すべての多重ゼータ値 (\zeta(\varnothing)=1 を含む) が \QQ 上張るベクトル空間 (これには調和積/シャッフル積で自然に \QQ-代数としての構造が入ります) を \mathcal{Z} と書けば、これらはともに \mathcal{Z}[T] の元となります。

Statement of the regularization theorem

形式的冪級数

\begin{align}A(W)=\exp{\left(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\zeta(n)}{n}(-W)^n\right)}\end{align}

を考えます。このとき \mathbb{R}[T][[W]] での等式 \rho(\exp(TW))=A(W)\exp(TW) によって \mathbb{R}[T] 上の \mathbb{R}-線型写像 \rho が一意に定まります。ここで左辺は係数ごとに作用していると思っています: つまり右辺の W^n の係数を \rho(T^n/n!) とおいて \mathbb{R} 線型に拡張しています。このとき、正規化定理とは次の主張をいいます:

定理 3 (正規化定理).
任意のインデックス \bk に対し

\begin{align} \zeta^{\sh}(\bk;T)=\rho(\zeta^{\ast}(\bk;T))\end{align}

が成り立つ。

Hoffman algebra

\hof=\QQ\langle x,y\rangle とおき、その部分代数 \hof^1=\QQ+y\hof\hof^0=\QQ+y\hof x を考えることにします。このとき積構造として調和積、シャッフル積を考えることができます。調和積については

o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com

で定義しているのでご参照下さい。シャッフル積は帰納的規則

\begin{align} &1\sh w=w\sh 1=w,\\uw\sh u'w'&=u(w\sh u'w')+u'(uw\sh w')\end{align}

で定まる \hof 上の \QQ-双線型な積です。ここで w,w'\in\hof であり、u,u'x,y のいずれかとしています。また、i\in\{0,1\}\bullet\in\{\ast,\sh\} に対し、積構造として \bullet を備えた代数 \hof^i\hof^i_{\bullet} と書くことにします。このとき次の事実が知られています:

命題 4 (Hoffman [H] for \bullet=\ast, Reutenauer [R] for \bullet=\sh).
\bullet\in\{\ast,\sh\} に対し同型 \hof^1_{\bullet}\simeq\hof^0_{\bullet}[y] が成り立つ。

すべてのインデックスの形式的 \QQ-線型和がなす空間を

\begin{align}\mathcal{I}=\bigoplus_{r\ge 0}\QQ [\mathbb{Z}^r_{\ge 1}]\end{align}

と書きます。インデックスに対し多重ゼータ値を割り当てる写像 \zeta\QQ-線型に \mathcal{I} へ拡張できます。このとき対応 \varnothing\mapsto 1, (k_1,\ldots,k_r)\mapsto yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1} によって全単射 I\colon\mathcal{I}\to\hof^1 が構成できます。命題 4 によって w\in\hof^0_{\bullet} に対し Z^{\bullet}(w)=\zeta(I^{-1}(w)) とおき、Z^{\bullet}(y)=T とすることで準同型 Z^{\bullet}\colon\hof^1_{\bullet}\to\mathcal{Z}[T] が構成できますが、これを使うと正規化多項式を次のように特徴づけることができます。

命題 5.
\bullet\in\{\ast,\sh\} とインデックス \bk に対し \zeta^{\bullet}(\bk;T)=Z^{\bullet}(I(\bk)) が成り立つ。

今回の趣旨と (深く関連するものの) すこし離れますが、多重ゼータ値には次のような結果が知られています。

定理 6 (複シャッフル関係式).
任意の w,w'\in\hof^0 に対し \zeta(I^{-1}(w\ast w'))=\zeta(I^{-1}(w\sh w')) が成り立つ。

正規化定理と複シャッフル関係式を合わせて 正規化複シャッフル関係式 regularized double shuffle relation と呼びますが、この関係式族は非常に広く、多重ゼータ値間に成り立つすべての \QQ-線型関係式を導出するのではないかと予想されています。

Polynomial generalization

本節では Hirose-Murahara-Saito [HMS] による polynomial multiple zeta values (多項式多重ゼータ値、とでも訳すべきでしょうか) における正規化定理の一般化について、その主張を述べます。

インデックス \bk=(k_1,\ldots,k_r) に対し \overleftarrow{\bk}=(k_r,\ldots,k_1) とおき、0\le i\le r に対し

\begin{align}\bk_{[i]}=(k_1,\ldots,k_i),\qquad \bk^{[i]}=(k_{i+1},\ldots,k_r)\end{align}

とおきます。\overleftarrow{\varnothing}=\varnothing, \bk_{[0]}=\bk^{[r]}=\varnothing と理解しています。また、インデックスの成分の和を \mathrm{wt}(\bk) と書きます。このとき、polynomial multiple zeta value\mathcal{Z}[x,y] の元として

\begin{align}\zeta^{\bullet}_{x,y}(\bk;T)=\sum_{i=0}^r \zeta^{\bullet}(\bk_{[i]};T)\zeta^{\bullet}(\overleftarrow{\bk^{[i]}};T)x^{\mathrm{wt}(\bk_{[i]})}y^{\mathrm{wt}(\bk^{[i]})}\end{align}

で定まります。定義より \zeta_{1,0}(\bk;T)=\zeta^{\bullet}(\bk;T) となり、また \zeta_{1,-1}(\bk;T)T に依存しないことが知られていて、対称多重ゼータ値 symmetric multiple zeta values と呼ばれる文脈で重要な役割を果たしています (これについてはいずれ記事を書きます)。

さて、一般化された正規化定理の主張を述べましょう。従来の A(W) にあたるものとして、\mathcal{Z}(x,y)[[W]] の元

\begin{align}A_{x,y}(W)=\exp {\left(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\zeta(n)}{n}\frac{x^n+y^n}{(x+y)^n}(-W)^n\right)}\end{align}

を考えます。これによって、\mathbb{R}(x,y)[T] 上の \mathbb{R}(x,y)-線型写像 \rho_{x,y}\rho_{x,y}(\exp{TW})=A_{x,y}(W)\exp(TW) で定める (先ほどと同様に左辺は係数ごとに定義しています) と、次の定理が成り立ちます。

定理 7 (Hirose-Murahara-Saito [HMS]).
任意のインデックス \bk に対し

\begin{align} \zeta^{\sh}_{x,y}(\bk;T)=\rho_{x,y}(\zeta^{\ast}_{x,y}(\bk;T))\end{align}

が成り立つ。

Hurwitz-type generalization

[HMS] とは別方向の一般化として、[KXY] における Hurwitz 型多重ゼータ値への拡張があります。以下では t を常に |t| < 1 なる実数とします。インデックス \bk=(k_1,\ldots,k_r) と正整数 N に対し

\begin{align}\zeta^t_{< N}(\bk)=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r < N} \frac{1}{(n_1+t)^{k_1}\cdots (n_r+t)^{k_r}}\end{align}

とおきます。また、ガンマ関数を積分

\begin{align}\Gamma(t)=\int_0^{\infty} e^{-u}u^{t-1}\,du\end{align}

で定め、ディガンマ関数をその対数微分とします。このとき、次が成り立ちます。

命題 8.
任意のインデックス \bk に対しある多項式 \zeta^{\ast}_t(\bk;T) と実数 \ep が存在し、N\to\infty で漸近展開

\begin{align} \zeta^t_{< N}(\bk)=\zeta^{\ast}_t(\bk;\log N-\log(1+t))+O{\left(\frac{\log^{\ep}N}{N}\right)}\end{align}

が成り立つ。

簡単な事実 \psi(1)=-\gamma より、t\to 0 を考えることでこれは命題 1 を含んでいることがわかります。

関数 \Li_{\bk}(z) を考えたのと同様に、

\begin{align}\Li^t_{\bk}(z)=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r < N} \frac{z^{n_r+t}}{(n_1+t)^{k_1}\cdots (n_r+t)^{k_r}}\end{align}

と定義します。対応する命題は以下のようになります:

命題 9.
任意のインデックス \bk に対しある多項式 \zeta^{\sh}_t(\bk;T) と実数 \ep が存在し、z\uparrow 0 で漸近展開

\begin{align} \zeta^t_{< N}(\bk)=\zeta^{\sh}_t(\bk;-\log(1-z))+O( (1-z)\log^{\ep}(1-z) )\end{align}

が成り立つ。

命題 1,2 のときと同様に命題 8,9 によって正規化多項式 (の変種) \zeta^{\bullet}_t(\bk;T) (\bullet\in\{\ast,\sh\}) が定義されたわけですが、なんと正規化定理はそのまま成り立ちます。

定理 10 (Kaneko-Xu-Yamamoto [KXY]).
任意のインデックス \bk に対し

\begin{align} \zeta^{\sh}_t(\bk;T)=\rho(\zeta^{\ast}_t(\bk;T-\gamma-\psi(1+t)))\end{align}

が成り立つ。

References

[IKZ] K. Ihara, M. Kaneko and D. Zagier, Derivation and double shuffle relations for multiple zeta values, Compos. Math. 142 (2006), 307-338.
[H] M. E. Hoffman, The algebra of multiple harmonic series, J. Algebra 194 (1997), 477-495.
[HMS] M. Hirose, H. Murahara and S. Saito, Polynomial generalization of the regularization theorem for multiple zeta values, arXiv:1808.06745.
[KXY] M. Kaneko, C. Xu and S. Yamamoto, A generalized regularization theorem and Kawashima's relation for multiple zeta values, arXiv:2011.14338.
[R] C. Reutenauer, Free Lie Algebras, Oxford Science Publications, Oxford, 1993.

Hoffman 双対性によるA-導分関係式の導出

\newcommand{\AA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\hA}{\widehat{\AA}}
\newcommand{\bk}{\boldsymbol{k}}
\newcommand{\hof}{\mathfrak{H}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
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本記事は Zeta Advent Calendar 2020 - Adventar の一日目の記事です。

Introduction

多重ゼータ値についてよく知られている関係式の一つに 導分関係式 derivation relation と呼ばれるものがあります。原論文である Ihara-Kaneko-Zagier [IKZ] では Hoffman 代数の完備化における代数的な計算を駆使して証明しています。一方で、Kaneko-Zagier [KZ] において導入された 有限多重ゼータ値 finite multiple zeta values の世界における導分関係式の類似が Murahara [M] によって証明されています。こちらも帰納法と word の計算に物を言わせたパワフルな証明ですが、本記事では Murahara-Onozuka [MO] に基づいて、Hoffman 双対性 Hoffman duality を用いた鮮やかな別証明を紹介します。

Remark. Horikawa-Murahara-Oyama [HMO] の Section 5 に本記事と本質的に同一の証明が記載されていました。情報提供をしていただいた同論文著者の小山宏次郎さんに感謝申し上げます。

Algebraic setup

本節では有限多重ゼータ値の定義と代数的定式化を復習します。商環
\displaystyle \AA={\left(\prod_p \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)}\Biggm/ {\left(\bigoplus_p \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)}
を考えると、対角的に有理数が埋め込めることからこれは \QQ-代数となります。正の整数の組 (k_1,\ldots,k_r) はしばしばインデックスと呼ばれますが、これに対して \AA の元
\displaystyle \zeta_{\AA}(k_1,\ldots,k_r)=\left(\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r < p}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}~\mathrm{mod}~p\right)_p
を有限多重ゼータ値と呼びます。

\hof=\QQ\langle x,y\rangle とおき、\hof^1=\QQ+y\hof をその部分代数とします。このとき \QQ-線型写像 Z_{\AA}\colon\hof^1\to\AAZ_{\AA}(1)=1Z_{\AA}(yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1})=\zeta_{\AA}(k_1,\ldots,k_r) (ここで (k_1,\ldots,k_r) は任意のインデックス) によって定まります。ところで \hof 上の導分とは \QQ-線型な準同型 d\colon \hof\to \hof であって Leibniz rule d(AB)=d(A)B+Ad(B) (A,B\in \hof) を満たすものですが、今回は正の整数 n に対して定まる \hof 上の導分として \partial_n(x)=-\partial_n(y)=y(y+x)^{n-1}x から決まるものを用いることとします。このとき、有限多重ゼータ値の導分関係式とは次の定理のことです。

定理 (有限多重ゼータ値の導分関係式; Murahara [M]).
任意の正整数 nw\in\hof^1 に対し Z_{\AA}(\partial_n(wx)x^{-1})=0 が成り立つ。

また、後のために Hoffman 代数上の 調和積 harmonic product を導入します。以後正整数 k に対し z=yx^{k-1} と書くことにします。\hof^1 上の双線型な積 \ast は規則  1\ast w=w\ast 1=wwz_k\ast w'z_l=(w\ast w'z_l)z_k+(wz_k\ast w')z_l+(w\ast w')z_{k+l}帰納的に定まります。ここで w,w'\in\hof^1 であり、k,l は正整数です。

Proof of the main theorem

\hof[t] 上の線型写像 \widetilde{S}_t\widetilde{S}_t(x)=x, \widetilde{S}_t(y)=y+tx で定め、これを使って \QQ[t]+y\hof[t] 上の線型写像 S_tS_t(1)=1S_t(w)=y\widetilde{S}_t(y^{-1}w) で定めます。また、\hof 上の準同型 \phi\phi(1)=1, \phi(x)=x+y\phi(y)=-y で与えられるものとし、\phi^t=S_{-t}\circ\phi\circ S_t とおきます。このとき次が成り立ちます:

補題 1 (有限多重ゼータ値の双対性; Hoffman [H]).
任意の w\in\hof^1 に対し Z^{\star}_{\AA}(w)=Z^{\star}_{\AA}(\phi^1(w)) が成り立つ。ここで Z^{\star}_{\AA}=Z_{\AA}\circ S_1 とおいた。
補題 2 (調和関係式).
任意の w,w'\in\hof^1 に対し Z_{\AA}(w\ast w')=Z_{\AA}(w)Z_{\AA}(w') が成り立つ。
補題 3 (depth 1 明示公式).
任意の正整数 k に対し \zeta_{\AA}(k)=0 が成り立つ。


任意の a,b に対し S_{a+b}=S_a\circ S_b であることより S_{-1}S_1 の逆写像であることがわかります。この事実と S_1(\hof^1)=\hof^1 より、補題 1 は任意の w\in\hof^1 に対し Z_{\AA}(w)=Z_{\AA}(\phi(w)) が成り立つことと同値です。この等式において w\partial_n(wx)x^{-1} に置き換えることで、示すべき式は Z_{\AA}(\phi(\partial_n(wx)x^{-1}))=0 となりました。

また、正整数 n に対し \hof 上の新しい導分を \delta_n(x)=0\delta_n(y)=z_n(y+x) で定めると、調和積の定義より \delta_n(w(y+x))(y+x)^{-1}=w\ast z_n が成り立つことがわかります。なお、記号的に便利なので形式的に inverse を書いていますが、商体に拡張した議論をする必要はなく、\delta_n(w(y+x)) は定義より必ず \hof(y+x) の元になります (導分関係式の主張も同様)。

\phi が自己同型かつ \delta_n が導分であることから \phi\circ\delta_n\circ\phi もまた導分で、生成元の移り方がそれぞれ x\mapsto y+x\mapsto z_n(y+x)\mapsto -y(y+x)^{n-1}x, y\mapsto -y\mapsto -z_n(y+x)\mapsto y(y+x)^{n-1}x となることより \phi\circ\delta_n\circ\phi=-\partial_n\hof 上で成り立ちます。このことと \phi^2=\mathrm{id} であること (演習問題) から w\in\hof^1 に対し \phi(\partial_n(wx)x^{-1})=-\delta_n(\phi(wx))(y+x)^{-1}=-\delta_n(\phi(w)(y+x))(y+x)^{-1}=-\phi(w)\ast z_n となり、両辺の Z_{\AA} での像を見ることで Z_{\AA}(\phi(\partial_n(wx)x^{-1}))=-Z_{\AA}(\phi(w))Z_{\AA}(z_n)補題 3 より 0 となることが従います。これで定理が証明されました。

References

[IKZ] K. Ihara, M. Kaneko and D. Zagier, Derivation and double shuffle relations for multiple zeta values, Compos. Math. 142 (2006), 307-338.
[H] M. E. Hoffman, Quasi-symmetric functions and mod p multiple harmonic sums, Kyushu J. Math. 69 (2015), 345–366.
[HMO] Y. Horikawa, H. Murahara and K. Oyama, A note on derivation relations for multiple zeta values and finite multiple zeta values, arXiv:1809.08389.
[KZ] M. Kaneko and D. Zagier, Finite multiple zeta values, in preparation.
[M] H. Murahara, Derivation relations for finite multiple zeta values, Int. J. Number Theory 13 (2017), 419-427.
[MO] H. Murahara and T. Onozuka, Derivation relation for finite multiple zeta values in \hA, arXiv:1809.02572v3.

Announcement

明日の記事は tsujimotter さんが "局所ゼータ関数について書こうと思" った記事
tsujimotter.hatenablog.com
です。

二重大野関係式: その後の発展

この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:
Prince - She's Always In My Hair

Prince - She's Always In My Hair (Live At Paisley Park, 1999)




昨年 10 月に arXiv にアップロードされた論文

arxiv.org

において、二重大野関係式 という定理が証明されました。詳細は後述しますが、二重大野関係式とは、多重ゼータ値について成り立つ定理「大野関係式」の非常に面白い応用です。


私はこれを知って衝撃を受け、論文を読み、主定理の証明を解説したブログ記事

o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com

を作成しました。




また、一方で、私が以前から愛してやまない概念である「コネクター」について、自分なりの理解を述べたブログ記事

o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com

を先日投稿しました。コネクターという新たな道具を使うことで、元来非自明だった大野関係式の証明を非常に短く済ませられることを解説しています。







そして2020年6月16日。



二重大野関係式がコネクターによって再証明されました!!!!!



該当する論文は

arxiv.org

です。これは二重大野関係式の原論文の著者である広瀬稔さん、佐藤信夫さんおよび、コネクターの原論文の著者である関真一朗さんによる三人の共著論文となっています。
これについて、第三著者・関さんによるブログ記事

integers.hatenablog.com

がありますので、この論文の完成経緯やモチベーションについては上記記事をご参照ください。




さて、本記事では、実際に Hirose-Sato-Seki のコネクターによる新証明を理解することを目標とします。言葉遣いは例によって一応復習しますが、簡潔に済ませるので、詳細は上に引用した私の二記事か

integers.hatenablog.com

をご参照ください。

続きを読む

What is connector?

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Prince & 3rdEyeGirl - FIXURLIFEUP

Prince & 3RDEYEGIRL Fixurlifeup hd720



2018 年 6 月 12 日、arXiv に論文

arxiv.org

が投稿されました。本記事は、この論文で導入された素晴らしい概念「ネクター」について解説を試みたものです。実はこの論文の著者・関真一朗さんによるこれまた素晴らしいブログ記事

integers.hatenablog.com

において解説がなされているのですが、自分の理解を深めることと、今後の準備のため、自力で解説を書いてみることにしました。殆どが上記記事の焼き直しになってしまうかと思いますが、どうかご容赦ください。


前提知識とモチベーション

多重ゼータ値について多少の知識がある方はこの節を読み飛ばしても構いません。

正整数 r 個の組 \boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)インデックス と呼びます。最後の成分 k_r1 より大きいとき、許容インデックス と呼びます。インデックス \boldsymbol{k} の成分の個数 r深さ といい、\mathrm{dep}(\boldsymbol{k}) と書きます。また、成分の総和を 重さ といい、\mathrm{wt}(\boldsymbol{k}) と書きます。

深さ 0 のインデックスがただ一つあると考え、\varnothing で書きます (しばしば空インデックスとかいいます)。空インデックスも許容インデックスということにしておきましょう。



許容インデックス \boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r) に対し、級数

\begin{align*}
\zeta(\boldsymbol{k})=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r} n_1^{-k_1}\cdots n_r^{-k_r}
\end{align*}

多重ゼータ値 と呼びます。英称 Multiple zeta value に由来した MZV という略称を使うこともあります。後々のために \zeta(\varnothing)=1 とおいておきましょう。


多重ゼータ値の間に成り立つ様々な関係式が今までの研究で知られています。その概略については九大のレクチャーノートとして出版された荒川先生、金子先生の解説 pdf

http://gcoe-mi.jp/temp/publish/b3ab8d917d96ba8e8fb37328483cbd01.pdf

や2年前の整数論サマースクール報告集の冒頭を飾った金子先生の記事

http://www.ist.aichi-pu.ac.jp/~tasaka/ss2018/1.pdf

を見るとわかりやすいです。また、Wikipedia の記事

ja.wikipedia.org

にも簡単な解説が載せられています。



その中でも 双対性 と呼ばれる一連の関係式族に注目することとしましょう。インデックス \boldsymbol{k}2 以上の成分の個数を 高さ といい \mathrm{ht}(\boldsymbol{k}) と書きます。

許容インデックス \boldsymbol{k} の高さを簡単のため s と書くと、\boldsymbol{k} は正整数 a_1,\ldots,a_s,b_1,\ldots,b_s を用いて

\displaystyle \boldsymbol{k}=\left(\{1\}^{a_1-1},b_1+1,\ldots,\{1\}^{a_s-1},b_s+1\right)

という風に一意に表示できます。ここで \{1\}^n1n 個並べたものです。例えば \boldsymbol{k}=(1,2,4,1,1,3) だと

\displaystyle \boldsymbol{k}=\left(\{1\}^{2-1},1+1,\{1\}^{1-1},3+1,\{1\}^{3-1},2+1\right)

という具合なので、

\begin{align*}a_1&=2,\\b_1&=1,\\a_2&=1,\\b_2&=3,\\a_3&=3,\\b_3&=2\end{align*}

となりますね。


さてこの表示を用いて、新たな許容インデックス

\left(\{1\}^{b_s-1},a_s+1,\ldots,\{1\}^{b_1-1},a_1+1\right)

が定まります。これを \boldsymbol{k}双対インデックス と呼び、\boldsymbol{k}^{\dagger} と書きます。たとえばさっきの例 \boldsymbol{k}=(1,2,4,1,1,3) だと、

\displaystyle \boldsymbol{k}^{\dagger}=\left(\{1\}^{2-1},3+1,\{1\}^{3-1},1+1,\{1\}^{1-1},2+1\right)

なので、(1,2,4,1,1,3)^{\dagger}=(1,4,1,1,2,3) ですね。



Hoffman 代数での定式化も説明しておきましょう。
\mathbb{Q} 係数の二変数非可換多項式環 \mathfrak{H}=\mathbb{Q}\langle x,y \rangle を考えて、この部分代数 \mathfrak{H}^1=\mathbb{Q}+y\mathfrak{H}\mathfrak{H}^0=\mathbb{Q}+y\mathfrak{H}x を定めておきます。インデックス (k_1,\ldots,k_r) が word (単項式) yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1} に対応し、空インデックスが空 word 1 に対応すると思うと、任意のインデックスがちょうど \mathfrak{H}^1 の単項式に対応します。許容インデックスは \mathfrak{H}^0 に対応しますね。

さて、\mathfrak{H}^1 上の反自己同型 \tau\tau(x)=y, \tau(y)=x で定めます。補足しておくと、写像 f:R\to RR 上の反自己同型であるとは、任意の X,Y\in R に対し f(XY)=f(Y)f(X) となることです。

この言葉を使うと、許容インデックス \boldsymbol{k} に対応する word を w と書いたとき \tau(w) に対応する許容インデックスが \boldsymbol{k}^{\dagger} であるということができます。

例えばインデックス (1,2,4,1,1,3) は word y^2xyx^3y^3x^2 に対応し、これに対して \tau での移り先を計算すると

\begin{align*}\tau(y^2xyx^3y^3x^2)&=\tau(x)^2\tau(y)^3\tau(x)^3\tau(y)\tau(x)\tau(y)^2\\&=y^2x^3y^3xyx^2\end{align*}

という具合になります。y^2x^3y^3xyx^2 に対応する許容インデックスはきちんと (1,4,1,1,2,3) に対応しますね。



以上の準備の下、次の定理が成立します。


許容インデックス \boldsymbol{k} に対し

\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger})

が成り立つ。


この定理を 双対性 と呼びます。多重ゼータ値には Kontsevich の発見した 反復積分表示 という事実があり、これを使うと双対性はほとんど自明に証明されてしまう一方、級数表示だけを弄って証明する方法は知られていませんでした。その障壁を取り払うのがコネクターの発想の元です。

ネクターによる双対性の証明

正整数 m,n に対し、双対性の ネクター

\displaystyle C(m,n)=\frac{m!n!}{(m+n)!}

で定めます。これを用いて、二つのインデックス \boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r), \boldsymbol{l}=(l_1,\ldots,l_s) に対し、連結和

\displaystyle Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l})=\sum_{0 = m_0 < m_1 < \cdots < m_r\atop{0 = n_0 < n_1 < \cdots < n_s}} \left(\prod_{i=1}^r m_i^{-k_i}\right)C(m_r,n_s)\left(\prod_{j=1}^s n_j^{-l_j}\right)

で定めます。文字通り、二つの多重ゼータ値 \zeta(\boldsymbol{k}),\zeta(\boldsymbol{l}) をコネクター C(m,n) で繋いだ形の和ですね。


さて、インデックス \boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r) に対し

\begin{align*}\displaystyle \boldsymbol{k}_{\rightarrow}&=(k_1,\ldots,k_r,1)\\\boldsymbol{k}_{\uparrow}&=(k_1,\ldots,k_r+1)\end{align*}

とおきます。Hoffman 代数でいうと、\rightarrow は右端に y をつけることに対応し、\uparrow は右端に x をつけることに対応します。


定義より明らかに

\displaystyle Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow};\boldsymbol{l})=\sum_{0 = m_0 < m_1 < \cdots < m_r < m_{r+1}\atop{0 = n_0 < n_1 < \cdots < n_s}} \left(\prod_{i=1}^r m_i^{-k_i}\right)\frac{C(m_{r+1},n_s)}{m_{r+1}}\left(\prod_{j=1}^s n_j^{-l_j}\right)

ですが、m_{r+1} に関する和だけ取り出すと

\begin{align*}\displaystyle\sum_{m_{r+1}=m_r+1}^{\infty} \frac{1}{m_{r+1}}C(m_{r+1},n_s)&=\sum_{m_{r+1}=m_r+1}^{\infty} \frac{(m_{r+1}-1)!n_s!}{(m_{r+1}+n_s)!}\\&=\sum_{m_{r+1}=m_r+1}^{\infty} \frac{1}{n_s}\left(\frac{(m_{r+1}-1)!n_s!}{(m_{r+1}+n_s-1)!}-\frac{m_{r+1}!n_s!}{(m_{r+1}+n_s)!}\right)\\&=\frac{1}{n_s}\frac{m_r!n_s!}{(m_r+n_s)!}\\&=\frac{1}{n_s}C(m_r,n_s)\end{align*}

となります。これをもとの表示に代入すると

\displaystyle Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow};\boldsymbol{l})=\sum_{0 = m_0 < m_1 < \cdots < m_r \atop{0 = n_0 < n_1 < \cdots < n_s}}\left(\prod_{i=1}^r m_i^{-k_i}\right)\frac{C(m_r,n_s)}{n_s}\left(\prod_{j=1}^s n_j^{-l_j}\right)

であるため、結局

\displaystyle Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow};\boldsymbol{l})=Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\uparrow})

がわかります。また、対称性 Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l})=Z(\boldsymbol{l};\boldsymbol{k}) が自明に成り立つので、

\displaystyle Z(\boldsymbol{k}_{\uparrow};\boldsymbol{l})=Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\rightarrow})

も確かですね。この二本の等式を合わせて 輸送関係式 と呼びます。なぜ輸送と呼ばれるのかですが、例えばこれを用いて


\begin{align*}\displaystyle \zeta(2,1,3)&=Z(2,1,3;\varnothing)\\&=Z(1+1,1,1+1+1;\varnothing)\\&=Z(1+1,1,1+1;1)\\&=Z(1+1,1,1;1,1)\\&=Z(1+1,1;1,1+1)\\&=Z(1+1;1,1+1+1)\\&=Z(1;1,1+1+1,1)\\&=Z(\varnothing;1,1+1+1,1+1)\\&=Z(\varnothing;1,3,2)\\&=\zeta(1,3,2)\end{align*}

という具合の変形ができますが、これを見るとまさに左側の ,1 を右側の +1 に、左側の +1 を右側の ,1 に「輸送」している感じがしますね。一方、先ほど言ったように、Hoffman 代数だと右矢印は y に、上矢印は x に対応するので、輸送関係式を繰り返し適用することは即ち

yx に、xy に輸送する」

こととなります。ところでこれはまさに、反自己同型 \tau の定義ですね!!!


ということで、輸送関係式を繰り返し適用することで双対性が証明できることが確認できました。


いかがでしたか?

大野関係式への応用

大野関係式について復習しておきましょう。許容インデックス \boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r) と非負整数 h に対し

\displaystyle O_h(\boldsymbol{k})=\sum_{e_1,\ldots,e_r\ge 0\atop{e_1+\cdots +e_r=h}} \zeta(k_1+e_1,\ldots,k_r+e_r)

とおき、これを 大野和 と呼びます。大野関係式は次の定理です:


許容インデックス \boldsymbol{k} と非負整数 h に対し

O_h(\boldsymbol{k})=O_h(\boldsymbol{k}^{\dagger})

が成り立つ。


もちろん大野和は h=0 のとき多重ゼータ値に一致する O_0(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k}) ので、大野関係式は双対性を含んでいることがわかります。さて大野関係式の証明ですが、h に関する母関数を O(\boldsymbol{k}) と書くと


\begin{align*}O(\boldsymbol{k})&=\sum_{h=0}^{\infty} O_h(\boldsymbol{k})x^h\\&=\sum_{h=0}^{\infty} \sum_{e_1,\ldots,e_r\ge 0\atop{e_1+\cdots+e_r=h}} \zeta(k_1+e_1,\ldots,k_r+e_r)x^h\\&=\sum_{h=0}^{\infty} \sum_{e_1,\ldots,e_r\ge 0\atop{e_1+\cdots+e_r=h}} \sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r} n_1^{-k_1-e_1}\cdots n_r^{-k_r-e_r}x^h \\&=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r} \sum_{e_1,\ldots,e_r\ge 0}n_1^{-k_1-e_1}\cdots n_r^{-k_r-e_r}x^{e_1+\cdots+e_r}\\&=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r} n_1^{-k_1}\left(1-\frac{x}{n_1}\right)^{-1}\cdots n_r^{-k_r}\left(1-\frac{x}{n_r}\right)^{-1}\\&=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r} n_1^{1-k_1}\left(n_1-x\right)^{-1}\cdots n_r^{1-k_r}\left(n_r-x\right)^{-1}\end{align*}

となります。この母関数の双対性 O(\boldsymbol{k})=O(\boldsymbol{k}^{\dagger}) を示すことができたなら、係数比較して大野関係式を取り出すことができます。ではこの母関数を適切なコネクターで繋いで輸送関係式を準備すればいいわけですが、今度は

\displaystyle C(m,n;x)=\frac{(1-x)_m(1-x)_n}{(1-x)_{m+n}}

とおいてみましょう。ここで (X)_N=X(X+1)\cdots (X+N-1) は Pochhammer 記号です。

連結和も同様に

\begin{align*}\displaystyle Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l};x)&=\sum_{0 = m_0 < m_1 < \cdots < m_r\atop{0 = n_0 < n_1 < \cdots < n_s}} \left(\prod_{i=1}^r m_i^{1-k_i}(m_i-x)^{-1}\right)C(m_r,n_s;x)\left(\prod_{j=1}^s n_j^{1-l_j}(n_j-x)^{-1}\right)\end{align*}

と定めておくと、

\begin{align*}\displaystyle Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow};\boldsymbol{l};x)&=\sum_{0 = m_0 < m_1 < \cdots < m_r < m_{r+1}\atop{0 = n_0 < n_1 < \cdots < n_s}} \left(\prod_{i=1}^r m_i^{1-k_i}(m_i-x)^{-1}\right)\frac{C(m_{r+1},n_s;x)}{m_{r+1}-x}\left(\prod_{j=1}^s n_j^{1-l_j}(n_j-x)^{-1}\right)\end{align*}

となり、双対性のときと同じように m_{r+1} に関する和だけ取り出すと

\begin{align*}\displaystyle\sum_{m_{r+1}=m_r+1}^{\infty} \frac{1}{m_{r+1}-x}C(m_{r+1},n_s;x)&=\sum_{m_{r+1}=m_r+1}^{\infty} \frac{(1-x)_{m_{r+1}-1}(1-x)_{n_s}}{(1-x)_{m_{r+1}+n_s}}\\&=\sum_{m_{r+1}=m_r+1}^{\infty} \frac{1}{n_s}\left(\frac{(1-x)_{m_{r+1}-1}(1-x)_{n_s}}{(1-x)_{m_{r+1}+n_s-1}}-\frac{(1-x)_{m_{r+1}}(1-x)_{n_s}}{(1-x)_{m_{r+1}+n_s}}\right)\\&=\frac{1}{n_s}\frac{(1-x)_{m_r}(1-x)_{n_s}}{(1-x)_{m_r+n_s}}\\&=\frac{1}{n_s}C(m_r,n_s;x)\end{align*}

と計算できます。故に全く同様の輸送関係式

\begin{align*}\displaystyle Z(\boldsymbol{k}_{\rightarrow};\boldsymbol{l};x)&=Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\uparrow};x)\\Z(\boldsymbol{k}_{\uparrow};\boldsymbol{l};x)&=Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}_{\rightarrow};x)\end{align*}

が成り立ち、以降は全く同様の議論により大野関係式 O(\boldsymbol{k})=O(\boldsymbol{k}^{\dagger}) が証明できます。


さらなる応用と関連する話題


q-類似の世界では積分の変数変換が通常よりも難しい (はっきりとした理論がまだ構築されていない) ために、q-双対性の積分表示による「自明」な証明はありませんでしたが、コネクター級数の変形しか用いていないため、q のついた世界でもそのまま適用することができます。コネクターの形は、双対性と大野関係式の場合でそれぞれ

\begin{align*}\displaystyle C_q(m,n)&=q^{mn}\frac{[m]_q![n]_q!}{[m+n]_q!}\\C_q(m,n;x)&=q^{mn}\frac{[m;x][n;x]}{[m+n;x]}\end{align*}

となります。ここで

\displaystyle [N]_q!=\prod_{i=1}^N \frac{1-q^i}{1-q}

q-階乗で、

\displaystyle [N;x]=\prod_{i=1}^N \left(\frac{1-q^i}{1-q}-q^ix\right)

とおきました。このコネクターによる q-双対性および q-大野関係式の証明は読者の演習問題とします。


また、コネクターによる証明法を 連結和法 といったり、あるいは輸送を通じてダイナミックに証明されているとみて 動的証明法 といったりしますが、関真一朗さんによる RIMS での講演のサーベイ

arxiv.org

では、大野関係式以外にも様々な多重ゼータ値の関係式が連結和法で証明できることが記されています。

depth 2 の和公式と超幾何定理

この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:
Tevin Campbell - Shhh

Tevin Campbell - Shhh (Break It Down)



ゼータ Advent Calendar 2019 - Adventar へようこそ。本記事は 2 日目の記事です。




再び盛大に遅れてすみません。理由は私の怠惰です。




ここ最近 MZV (多重ゼータ値) の記事が多いですね。今回も例に漏れずそうです。

MZV に関して、和公式 (sum formula) という定理があります。まずはそれについて復習しましょう:


言葉の定義は毎度毎度やっていますが、今回も必要な分だけ書きます。

r を正整数とし、 \boldsymbol{k}=(k_1,\cdots,k_r) を正整数 r 個の組とします。このような \boldsymbol{k} をインデックスと呼びます。最後の成分 k_r2 以上のとき、\boldsymbol{k} を許容インデックス (admissible index, 略して adm. index とも) と呼びます。成分の個数 r\boldsymbol{k} を depth、成分の和 k:=k_1+\cdots+k_r\boldsymbol{k} の weight と呼び、それぞれ \mathrm{dep}(\boldsymbol{k})=r,\,\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})=k と書くことにします。

許容インデックス \boldsymbol{k} に対し、多重ゼータ値 (multiple zeta value, MZV) を以下で定義します:

\displaystyle \zeta(\boldsymbol{k}) := \sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}

\boldsymbol{k} が許容的なのでこの級数は収束します。

また、正整数 rk>r に対して集合 I(k,r)I_0(k,r) をそれぞれ

I(k,r)=\{\boldsymbol{k}\,|\,\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})=r,\,\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})=k\}
I_0(k,r)=\{\boldsymbol{k}\,|\,\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})=r,\,\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})=k,\,\boldsymbol{k}:\mathrm{adm}.\}

と定めます。このとき和公式が次のように state されます:



[定理 (和公式)]


正整数 rk>r に対して
\displaystyle \sum_{\boldsymbol{k}\in I_0(k,r)} \zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(k).


平たく言うと "weight と depth を固定した MZV の和が Riemann ゼータ値になる" という定理ですね。

今回はその中でも、depth が 2 のケースについて扱います。まともに書くなら、正整数 k に対し

\displaystyle \zeta(1,k+1)+\zeta(2,k)+\cdots+\zeta(k,2)=\zeta(k+2)

という感じですね。



私の Twitter のフォロワーである NKSΣ (@nkswtr) 君がこの等式の超幾何級数を用いた証明を発見し、その方法がどうも新しそうだということで記事にしました。(本人に許可はとっています)



[depth 2 の和公式の新証明]

まずは超幾何定理について紹介します。複素パラメータ a,b,c と変数 z に対し

\displaystyle {}_2F_1\left(\begin{matrix}a,b\\ c\end{matrix};z\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}z^n

と定めます。ここで正整数 n に対し (X)_n=\prod_{i=0}^{n-1} (X+i) であり、(X)_0=1 です。また、(X,Y)_n=(X)_n(Y)_n とおきました。

この級数に対し、次のような定理が成り立ちます:



[定理 (Gauss の超幾何定理)]


\mathrm{Re}(a+b)<\mathrm{Re}(c),\,c\notin\mathrm{Z}_{\leq 0} のとき
\displaystyle {}_2F_1\left(\begin{matrix}a,b\\ c\end{matrix};1\right)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}.



証明は簡単です。例えば

tsujimotter.hatenablog.com

をご覧ください。


次にいくつか記号を導入します。複素数 X と正整数 n に対し

\displaystyle \{X\}_n=\sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{X+i}

とおきます。また \{X\}_0=0 とします。見ればわかるように

\displaystyle \frac{d}{dx}(x)_n=(x)_n\{x\}_n

ですね。また、複素パラメータ a,b,c,x と変数 z に対し

\displaystyle {}_2F^H_{1,1}\left(\begin{matrix}a,b\\ c\end{matrix};x,z\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}\{x\}_nz^n

とおき、調和数つき超幾何級数と呼びます。*1

超幾何定理の両辺を微分すると明らかに

\displaystyle {}_2F^H_{1,1}\left(\begin{matrix}a,b\\ c\end{matrix};a,1\right)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}(\psi(c-a)-\psi(c-a-b))

がわかります。ここで \psi はガンマ関数の対数微分です。

ここで bx に、cx+1 に、a1-a に置き換えると

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x(1-a)_n\{1-a\}}{n!(n+x)}=\frac{\Gamma(x+1)\Gamma(a)}{\Gamma(a+x)}(\psi(a+x)-\psi(a))

となります。両辺 x で割ると

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)_n\{1-a\}_n}{n!(n+x)}=\frac{\Gamma(x)\Gamma(a)}{\Gamma(a+x)}(\psi(a+x)-\psi(a))

ですね。ここからの計算がちょっと面倒です。両辺 x微分して -1 を掛けます:

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)_n\{1-a\}_n}{n!(n+x)^2}=\frac{\Gamma(x)\Gamma(a)}{\Gamma(a+x)}({}(\psi(x)-\psi(a+x))(\psi(a)-\psi(a+x))-\psi'(a+x))

となります。さてここから a\to 0 という極限をとることを考えます。左辺は

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n}{(n+x)^2}

となることが簡単にわかります。ここで H_n=\{1\}_n です。右辺がこれまためんどくさいのですが、前の因子 \Gamma(x)\Gamma(a)/\Gamma(a+x)a\to 0 のとき 1/a+O(1) という具合の展開を持つので、後ろの因子が a=0 に零点を持つことを使えば

\displaystyle \frac{(\psi(x)-\psi(a+x))(\psi(a)-\psi(a+x))-\psi'(a+x)}{a}

a\to 0 の極限を考えればいいことになりますね。a\to 0 のとき

\displaystyle \psi(x)-\psi(a+x)=-\psi'(x)a-\frac{\psi''(x)}{2}a^2+O(a^3)

\displaystyle \psi(a)-\psi(a+x)=-\frac{1}{a}-(\gamma+\psi(x))+O(a)

となるので、

\begin{eqnarray*}\displaystyle &&(\psi(x)-\psi(a+x){})(\psi(a)-\psi(a+x))-\psi'(a+x)\\&=&\left(\psi'(x)a+\frac{\psi''(x)}{2}a^2+O(a^3)\right)\left(\frac{1}{a}+(\gamma+\psi(x))+O(a)\right)-\psi'(x)-\psi''(x)a+O(a^2)\\&=&\left({}(\gamma+\psi(x))\psi'(x)-\frac{\psi''(x)}{2}\right)a+O(a^2)\end{eqnarray*}

がわかります。したがって

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n}{(n+x)^2}=(\gamma+\psi(x))\psi'(x)-\frac{\psi''(x)}{2}

を得ました。*2

最後のパートとして、ここから両辺を x で高階微分することを考えていきます。k を正整数として左辺を k-1微分し、x=1 とすると  (-1)^{k-1}k!\zeta(1,k+1) となります。一方で、よく知られた事実として、Hurwitz ゼータ関数

\displaystyle \zeta_H(s,w)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+w)^{-s}

によって*3 \psi の高階微分

\displaystyle \psi^{(k)}(w)=(-1)^{k+1}k!\zeta_H(k+1,w)

と書けるというものがあります。これを使うと右辺の k-1微分

\begin{eqnarray*}\displaystyle &&\frac{1}{2}(-1)^{k+1}(k+1)!\zeta_H(k+2,x)+(-1)^{k+1}k!\zeta_H(k+1,x)(\gamma+\psi(x))\\&{}&+\sum_{j=1}^{k-1} (-1)^k(k-1)!(k-j)\zeta_H(j+1,x)\zeta_H(k-j+1,x)\end{eqnarray*}

となります。x=1 とすると \zeta_H(s,x)=\zeta(s) (右辺は Riemann ゼータ) なので、結局

\begin{eqnarray*}\displaystyle &&(-1)^{k-1}k!\zeta(1,k+1)=\frac{1}{2}(-1)^{k+1}(k+1)!\zeta(k+2)\\&{}&+\sum_{j=1}^{k-1} (k-1)!(k-j)\zeta(j+1)\zeta(k-j+1)\end{eqnarray*}

という具合です。ただし最後の変形では \psi(1)=-\gamma であることを使いました。両辺 (-1)^{k-1}k! で割ると

\begin{eqnarray*}\displaystyle &&\zeta(1,k+1)=\frac{k+1}{2}\zeta(k+2)\\&{}&-\sum_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{j}{k}\right)\zeta(j+1)\zeta(k-j+1)\end{eqnarray*}

ですが、ここで簡単な等式*4

\zeta(k_1)\zeta(k_2)=\zeta(k_1,k_2)+\zeta(k_2,k_1)+\zeta(k_1+k_2)

を右辺のゼータ値の積のところに適用すると

\begin{eqnarray*}\displaystyle \zeta(1,k+1)&=&\frac{k+1}{2}\zeta(k+2)-\sum_{j=1}^{k-1} \left(1-\frac{j}{k}\right)(\zeta(j+1,k-j+1)+\zeta(k-j+1,j+1)+\zeta(k+2))\\&=&\zeta(k+2)-(\zeta(2,k)+\zeta(3,k-1)+\cdots+\zeta(k,2))\end{eqnarray*}

が出てきます。カッコ内を移項すると和公式の証明が完成します。[証明終わり]



本当に新しいかどうかは (MathSciNet とかを使ってまでは) 確かめていませんが、面白い証明であることには変わりなさそうです。この素晴らしい証明を考えついた NKSΣ 君に尊敬の意を表します。

*1:証明には使っていませんが、NKSΣ 君はより一般的に \displaystyle {}_pF^H_{q,r}\left(\begin{matrix}a_1,\cdots,a_p\\ b_1,\cdots,b_q\end{matrix};c_1,\cdots,c_r;z\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1,\cdots,a_p)_n}{n!(b_1,\cdots,b_q)_n}\{c_1,\cdots,c_r\}_nz^n を考えています。証明だけじゃなく、どうもこの対象が新しいみたいですね。

*2:厳密にはこの等式が NKSΣ 君の成果で、ここから和公式を出せるというのは私の 蛇足 戯言 余計な一言 助言です。

*3:ふつうは記号に H なんてつけないのですが、コレがないと二重ゼータ値 \zeta(k_1,k_2) と間違えそうなのでこういう措置をとっています。

*4:調和関係式というヤツです。このケースは左辺の二重和をバラすと一瞬で出ます

複素変数大野関係式

この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:
The New Power Generation - Get Wild

Prince (New Power Generation) performing 'Get Wild' on The White Room



ゼータ Advent Calendar 2019 - Adventar へようこそ。本記事は 10 日目の記事です。



最初に、本記事の完成が盛大に遅れたことをお詫び申し上げます。2 日目の記事もすぐ仕上げます...




前回に引き続き大野関係式の話です。前回の記事は

o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com

を、大野関係式自体の仔細は

integers.hatenablog.com

をご覧ください。



さて今回はこの論文

[1808.07203] An interpolation of Ohno's relation to complex functions

の主定理についてお話します。これは大野関係式の「複素数への補間」をもたらします。



とりあえず大野関係式についての (前回のほぼコピペですが) 復習を。

r を正整数とし、 \boldsymbol{k}=(k_1,\cdots,k_r) を正整数 r 個の組とします。このような \boldsymbol{k} をインデックスと呼びます。最後の成分 k_r2 以上のとき、\boldsymbol{k} を許容インデックスと呼びます。

許容インデックス \boldsymbol{k} に対し、多重ゼータ値 (multiple zeta value, MZV) を以下で定義します:

\displaystyle \zeta(\boldsymbol{k}) := \sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}

\boldsymbol{k} が許容的なのでこの級数は収束します。


次に双対性を state します。許容インデックス \boldsymbol{k}=(k_1,\cdots,k_r) は正整数 a_1,b_1,\cdots,a_s,b_s による一意な表示

\boldsymbol{k}=(\underbrace{1,\cdots,1}_{a_1-1},b_1+1,\cdots,\underbrace{1,\cdots,1}_{a_s-1},b_s+1)

を持つので、これによって \boldsymbol{k}^{\dagger}

\boldsymbol{k}=(\underbrace{1,\cdots,1}_{b_s-1},a_s+1,\cdots,\underbrace{1,\cdots,1}_{b_1-1},a_1+1)

と定めます。



このとき、次の定理が成り立ちます:


[定理 (双対性)]


許容インデックス \boldsymbol{k} に対し
\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger}).

これだけでも非常に美しく非自明な定理なのですが、大野関係式はこれをさらに強くします。非負整数 m と許容インデックス \boldsymbol{k} に対し大野和を以下で定義します:

\displaystyle I_{\boldsymbol{\mathbb{k}}}(m)=\sum_{\boldsymbol{e}\geq\boldsymbol{0}, |\boldsymbol{e}|=m} \zeta(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e}).

ここで、和の変数 \boldsymbol{e}=(e_1,\cdots,e_r) は非負整数 r 個の組であって各成分の和が m であるようなものをわたり、 \oplus は各成分ごとの和とします。以降 \boldsymbol{e}\geq\boldsymbol{0} は省略します。


このとき、大野和に対しても双対性が成り立つ O_m(\boldsymbol{k})=O_m(\boldsymbol{k}^{\dagger}) と主張するのが大野関係式です。当然 m=0 とすれば \zeta(\boldsymbol{k}) の双対性が得られます。


さて複素補間を考えていきます。許容的とは限らないインデックス \boldsymbol{k}\in\mathbb{Z}^r_{\geq 1}複素数 s に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle I_{\boldsymbol{k}}(s)=\sum_{i=1}^r \sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{n_i^s}\prod_{j\neq i}\frac{n_j}{n_j-n_i}\end{eqnarray*}

と定めます。ここで積の条件 j\neq ii でない整数 j=1,\cdots,r をわたるものと約束します。

この関数 I_{\boldsymbol{k}}(s) が大野和の一般化になっていることを次の補題で確認します。


[補題1]


r 個の実数 a_1,\cdots,a_r と非負整数 m に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle\sum_{|\boldsymbol{e}|=m} a_1^{e_1}\cdots a_r^{e_r}=\sum_{i=1}^r a_i^{m+r-1}\prod_{j\neq i}(n_i-n_j)^{-1}\end{eqnarray*}

が成り立つ.

証明.
i=1,\cdots,r に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle A_i=a_i^{r-1}\prod_{j\neq i} (a_i-a_j)^{-1}\end{eqnarray*}

とおきます。補題の両辺の m に関する母関数をとって、

\begin{eqnarray*}\displaystyle\prod_{i=1}^r \frac{1}{1-a_ix}=\sum_{i=1}^r \frac{A_i}{1-a_ix}\end{eqnarray*}

を示すことにしましょう。両辺に (1-a_ix) の積をかけることで分母を払い、示したい等式が

\begin{eqnarray*}\displaystyle 1&=&\sum_{i=1}^r A_i\prod_{j\neq i} (1-a_jx)\\&=&\sum_{i=1}^r \prod_{j\neq i} \frac{x-a_j^{-1}}{a_i^{-1}-a_j^{-1}}\end{eqnarray*}

のように変形できるので、Lagrange 補間

mathtrain.jp

が適用できます。具体的には r\{(a_i^{-1},1)\} に対し Lagrange 補間を適用することで上記等式が示せます。[証明終わり]


この補題を大野和の定義 (多重ゼータ値の線型和のほう) に適用することで、複素変数の I_{\boldsymbol{k}}(s)s=m としたものと一致することが確認できます。

次の補題は有名です (証明は Apostol の教科書 Introduction to Analytic Number Theory などを参照)。


[補題2]


ある実数 \sigma に対し \mathrm{Re}(s)>\sigma 上で絶対収束する二つの Dirichlet 級数

\begin{eqnarray*}\displaystyle F_i(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{i,n}}{n^s} \, & (i=1,2)\end{eqnarray*}

が与えられているとする。実部が正の無限大に発散するような列 \{s_{\lambda}\} が存在して各 \lambda に対し F_i(s_{\lambda})i に依存しなければ F_1=F_2 となる。

i に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle\sum_{n_i=i}^{\infty} n_i^{-s} \left(\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\prod_{j\neq i}\frac{n_j}{n_j-n_i}\right)\end{eqnarray*}

は明らかに Dirichlet 級数です (カッコ内の和では n_i を固定していることに注意)。なので、必然的に I_{\boldsymbol{k}}(s) も Dirichlet 級数です。F_1(s)=I_{\boldsymbol{k}}(s),\,F_2(s)=I_{\boldsymbol{k^{\dagger}}}(s) とおけば、大野関係式より非負整数 \lambda に対し F_i(\lambda)i に依存せず定まります。従って s_{\lambda}=\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0} と選ぶことで補間大野和とその双対 F_i(s)補題 2 の仮定を満足し、F_1(s)=F_2(s) がいえます。これが示したいことでした。[主定理の証明終わり]


Acknowledgements. 原論文の Lemma 2.1 (本記事での補題 1) の証明を教えてくださった Oddie さん @math_elliptic、ADE さん @grand_antiprism、Kuma さん @notori48 に感謝します。こいついつも最初の補題の証明人任せだな