Kaneko-Zagier 予想の概観 - たけのこ赤軍の自由帳

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この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:
Jermy Budd - All that I needed (was you)

本記事は Zeta Advent Calendar 2020 - Adventar の4日目の記事です。

Introduction

Kaneko-Zagier 予想という未解決問題があります。私が最近もっとも心奪われている予想です。こんなに美しい予想があってよいものだろうかと思っています。本記事は、具体的な～～の定理を示す、というようなものではありませんが、その主張と精密化について簡単に解説することを目標とします。全体を通して、概ね小野先生/関先生の報告記事 [On], [S1] に基づきます。

Finite multiple zeta values

先日の記事
o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com
でも有限多重ゼータ値を導入しましたが、改めて定義を記述します。正の整数の組 $(k_1,\ldots,k_r)$ をしばしばインデックスと呼びます。
次で定まる環を考えましょう:

\begin{align} \AA={\left(\prod_p \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)}\Biggm/ {\left(\bigoplus_p \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)}\end{align}

これを $\mathrm{mod}~\pp$ 整数環と呼ぶことにします (名前の意味は後述)。この環の元は $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の元 $a_p$ の素数を渡る列 $(a_p)_p$ として表され、 $(a_p)_p=(b_p)_p$ であることは直和の定義より "有限個の素数 $p$ を除いて" $a_p=b_p$ が成り立つことと同値です。
また、任意の有理数 $a=r/s$ に対し、素数 $p$ が $s$ を割り切らないならば (つまり " $s$ を割り切るような有限個の素数 $p$ を除いて") $a_p=(r/s~\mathrm{mod}~p)$ という元を定めることができるので、 $\AA$ に $\QQ$ を埋め込むことができて、ゆえに $\QQ$ 代数としての構造が入ります。

さて、素数 $p$ とインデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し、有限和

\begin{align} \zeta_{< p}(\bk)=\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r < p}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\end{align}

を考えます。いろいろな呼び方がありますが、本ブログでは 打ち止め多重調和和 truncated multiple harmonic sum と呼ぶことにします。ここから定まる $\AA$ の元

\begin{align} \zeta_{\AA}(\bk)=(\zeta_{< p}(\bk)~\mathrm{mod}~p)_p\end{align}

を 有限多重ゼータ値 finite multiple zeta value と呼びます。

Symmetric multiple zeta values

o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com
に基づいて、(調和/シャッフル)正規化多項式の定義を思い出しましょう。また、インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ に対し $\overleftarrow{\bk}=(k_r,\ldots,k_1)$ とおき、 $0\le i\le r$ に対し

\begin{align}\bk_{[i]}=(k_1,\ldots,k_i),\qquad \bk^{[i]}=(k_{i+1},\ldots,k_r)\end{align}

とおきます。 $\overleftarrow{\varnothing}=\varnothing$ , $\bk_{[0]}=\bk^{[r]}=\varnothing$ と理解しています。また、インデックスの成分の和を $\mathrm{wt}(\bk)$ と書きます。(この記述も上記記事と同一です。) このとき $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し

\begin{align}\zeta^{\bullet}_{\SS}(\bk)=\sum_{i=0}^r (-1)^{\mathrm{wt}(\bk^{[i]})}\zeta^{\bullet}(\bk_{[i]};0)\zeta^{\bullet}(\overleftarrow{\bk^{[i]}};0)\end{align}

という値が定まります。正規化多項式は一般に $\mathcal{Z}$ -係数の多項式であり、調和/シャッフル関係式によって積を線型和に分解できることからこれは $\mathcal{Z}$ の元となります。 $\mathcal{Z}$ は $1$ とすべての多重ゼータ値が $\QQ$ 上張る空間です。

さて、これでは対称多重ゼータ値は積の選び方によって二通りの異なる定義ができてしまうわけですが、なんと次の定理が成り立ちます。

定理 1.
任意のインデックス $\bk$ に対し

\begin{align}\zeta^{\ast}_{\SS}(\bk)-\zeta^{\sh}_{\SS}(\bk)\in\zeta(2)\mathcal{Z}\end{align}

が成り立つ。

この事実より、商代数 $\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ において考えればどちらを用いても値が変わらないことがわかるので、その一致する値を $\zeta_{\SS}(\bk)$ と書き 対称多重ゼータ値 symmetric multiple zeta value と呼びます。

Kaneko-Zagier conjecture

空間 $\mathcal{Z}$ と同様に、すべての有限多重ゼータ値と $1$ が $\QQ$ 上生成する $\AA$ の部分集合を $\mathcal{Z}_{\AA}$ と書きます。このとき、Kaneko-Zagier 予想とは次の問題を指します。

予想 2 (Kaneko-Zagier 予想).
対応 $\zeta_{\AA}(\bk)\mapsto\zeta_{\SS}(\bk)$ は well-defined な $\QQ$ -代数の同型 $\mathcal{Z}_{\AA}\to\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z}$ を与える。

この予想が正しければ、有限多重ゼータ値と対称多重ゼータ値は全く同じ関係式を満たす ことになります。まったく異なる定義に思えた二つの多重ゼータ値の変種がこうもきれいに結びつくとは予想もできませんが、それを予想してしまったのが Kaneko-Zagier の両名だというわけです。

実際に正しそうだ、といえる根拠はたくさん見つかっています。多重ゼータ値の関係式族というのは膨大にありますが、その中で (重複するものもありますが)

和公式 (Saito-Wakabayashi [SW] for $\AA$ , Murahara [M1] for $\SS$ .)
双対性 (Hoffman [Ho] for $\AA$ , Hirose [Hi], Jarossay [J1] for $\SS$ .)
巡回和公式 (Kawasaki-Oyama [KO] for $\AA$ , Hirose-Murahara-Ono [HiMOn] for $\SS$ . Hirose-Sato の未出版の結果で $\SS$ での別証明)
Ohno 関係式 (Oyama [Oy], Hirose-Imatomi-Murahara-Saito [HIMS]. Seki-Yamamoto [SY] で $\AA$ の結果を精密化)
導分関係式 (Murahara [M2], Horikawa-Murahara-Oyama [HoMOy]. Hirose-Sato の未出版の結果で $\SS$ での別証明)
調和関係式 (Hoffman [Ho1] for $\AA$ , Hirose [Hi], Jarossay [J1], [J2], Ono-Seki-Yamamoto [OSY] for $\SS$ .)
シャッフル関係式 (Kaneko-Zagier [KZ] for $\AA$ , Hirose [Hi], Jarossay [J1], [J2], Ono-Seki-Yamamoto [OSY] for $\SS$ .)
二重 Ohno 関係式 (Hirose-Murahara-Onozuka-Sato [HMOS].)

に関しては、 $\AA$ および $\SS$ での類似が知られています。それらの証明はまったく異なる方法でなされているケースもありますが、最近の進展では Bachmann-Takeyama-Tasaka [BTT] が $q$ -有限多重調和和 の特殊値を用いることで有限多重ゼータ値と対称多重ゼータ値の双対性を 同時に 導くことに成功しており、Kaneko-Zagier 予想への確かな進歩を感じることができます。

Refinement of KZ-conjecture

本節では、有限/対称多重ゼータ値の一般化を述べ、Kaneko-Zagier 予想のさらなる精密化について紹介します。

正整数 $n$ に対し

\begin{align} \AA_n={\left(\prod_p \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\right)}\Biggm/ {\left(\bigoplus_p \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}\right)}\end{align}

という環を考えます。もちろん $\AA_1=\AA$ です。正整数 $m,n$ をとり、 $m$ のほうが小さいとき、 $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ の元を $\mathrm{mod}~p^m$ することによって自然に準同型 $\AA_n\to\AA_m$ を定めることができます。すると射影系 $\{\AA_n\}_n$ が定まるので、その射影極限

\begin{align}\hA=\varprojlim_n \AA_n\end{align}

を考えることができます。自然な全射 $\pi\colon\prod_p \mathbb{Z}_p\to\hA$ があるので、これによって (有限個を除いた) 素数 $p$ に対し $p$ 進整数 $a_p$ が与えられているとき $\hA$ の元 $\pi((a_p)_p)$ を考えることができます。これを今後 $a_{\pp}$ と書きます。とくに $\pp=\pi((p)_p)$ を 無限大素数 infinitely large prime と呼びます。各 $\AA_n$ に離散位相を入れると $\hA$ には極限位相が入りますが、これは $\pp$ 進位相と一致して、完備な位相環となります。これは自然な射影 $\pi_n\colon\hA\to\AA_n$ の核を見ることでわかりますが、詳細は Seki [S2, Lemma 2.5] をご覧ください。

以上の準備の下で、インデックス $\bk$ に対し $\hA$ の元

\begin{align}\zeta_{\hA}(\bk)=\zeta_{<\pp}(\bk)\end{align}

を $\pp$ 進有限多重ゼータ値 $\pp$ -adic finite multiple zeta value と呼びます。

$\pp$ 進有限多重ゼータ値は、例えば Wolstenholme の定理 $\zeta_{\AA_2}(1)=0$ のような、素数冪での剰余の公式 (supercongruence というようです) を多重ゼータ値の言葉で取り扱うために Rosen [R] で導入されました。では、Kaneko-Zagier 予想の哲学に則って、 $\pp$ 進有限多重ゼータ値に対応する対称多重ゼータ値の一般化はどうなっているのか、という疑問が自然に浮かびます。[HiMOn] によれば Jarossay [J2] で、[OSY] によれば Hirose-Seki の personal communication で定義されたようですが、対応物は $t$ 進対称多重ゼータ値 $t$ -adic symmetric multiple zeta value と呼ばれるもののようです。

さて定義ですが、インデックス $\bk=(k_1,\ldots,k_r)$ と $\bullet\in\{\ast,\sh\}$ に対し $\mathcal{Z} [ [ t ] ]$ の元

$\begin{align}\zeta^{\sigma,\bullet}(\bk)=\sum_{e_1,\ldots,e_r\ge 0} {\left(\prod_{i=1}^r \binom{k_i+e_i-1}{e_i}\right)}\zeta^{\bullet}(k_1+e_1,\ldots,k_r+e_r;0)t^{e_1+\cdots+e_r}\end{align}$

を考えます。これを用いて

$\begin{align}\zeta^{\bullet}_{\hS}(\bk)=\sum_{i=0}^r (-1)^{\mathrm{wt}(\bk^{[i]})}\zeta^{\bullet}(\bk_{[i]};0)\zeta^{\sigma,\bullet}(\overleftarrow{\bk^{[i]}};0)\end{align}$

とおくと、定理 1 の拡張として次の事実が成り立ちます。

定理 3.
任意のインデックス $\bk$ に対し

\begin{align}\zeta^{\ast}_{\hS}(\bk)-\zeta^{\sh}_{\hS}(\bk)\in\zeta(2)\mathcal{Z}[ [t] ]\end{align}

が成り立つ。

これに基づいて、商代数 $(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[[t]]$ の元としてこれらを $t$ 進対称多重ゼータ値と呼び $\zeta_{\hS}(\bk)$ と書きます。

ここまでで「 $\pp$ 進有限 / $t$ 進対称」多重ゼータ値を定義してきました。いよいよ予想を述べる時間です。Kaneko-Zagier 予想で考えた $\mathcal{Z}_{\AA}$ の対応物として

\begin{align}\mathcal{Z}_{\hA}=\left\{\sum_{n=1}^{\infty} a_n\zeta_{\hA}(\bk_n)\pp^{b_n}\in\hA~\middle|~a_n\in\QQ,~\bk_n:\text{index},~b_n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}~\text{s.t.}~\lim_{n\to\infty} b_n=\infty\right\}\end{align}

を考えます。ここで $a_n$ は有理数列、 $\bk_n$ はインデックス、 $b_n$ は $n\to\infty$ で正の無限大に発散するような非負整数列全体を渡ります。

これで準備が整いました。

予想 4.
対応 $\zeta_{\hA}(\bk)\mapsto\zeta_{\hS}(\bk)$ は well-defined な位相環の同型 $\phi\colon\mathcal{Z}_{\hA}\to(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[[t]]$ を与える。

References

[BTT]	H. Bachmann, Y. Takeyama and K. Tasaka, Cyclotomic analogues of finite multiple zeta values, Compos. Math. 154 (2018), 2701-2721.
[Hi]	M. Hirose, Double shuffle relations for refined symmetric multiple zeta values, Doc. Math. 25 (2020), 365-380.
[Ho1]	M. E. Hoffman, The algebra of multiple harmonic series, J. Algebra 194 (1997), 477-495.
[Ho2]	M. E. Hoffman, Quasi-symmetric functions and mod p multiple harmonic sums, Kyushu J. Math. 69 (2015), 345–366.
[HIMS]	M. Hirose, K. Imatomi, H. Murahara, and S. Saito, Ohno-type relations for classical and finite multiple zeta-star values, arXiv:1806.09299.
[HiMon]	M. Hirose, H. Murahara and M. Ono, On variants of symmetric multiple zeta-star values and the cyclic sum formula, arXiv:2001.03832.
[HoMOy]	Y. Horikawa, H. Murahara and K. Oyama, A note on derivation relations for multiple zeta values and finite multiple zeta values, arXiv:1809.08389.
[HMOS]	M. Hirose, H. Murahara, T. Onozuka, and N. Sato, Linear relations of Ohno sums of multiple zeta values, Indag. Math. (N. S.) 31 (2020), 556-567.
[J1]	D. Jarossay, Double mélange des multizêtas finis et multizêtas symétrisés, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Ser I 352 (2014), 767–771.
[J2]	D. Jarossay, Adjoint cyclotomic multiple zeta values and cyclotomic multiple harmonic values, arXiv:1412.5099v5.
[KO]	N. Kawasaki and K. Oyama, Cyclic sum of finite multiple zeta values, Acta Arith. 195 (2020), 281–288.
[KZ]	M. Kaneko and D. Zagier, Finite multiple zeta values, in preparation.
[M1]	H. Murahara, A note on finite real multiple zeta values, Kyushu J. Math. 70 (2016), 197-204.
[M2]	H. Murahara, Derivation relations for finite multiple zeta values, Int. J. Number Theory 13 (2017), 419-427.
[On]	小野雅隆, 「多重ゼータ値」から「有限多重ゼータ値」へ, 第 26 回整数論サマースクール報告集, 2018.
[Oy]	K. Oyama, Ohno-type relation for finite multiple zeta values, Kyushu J. Math. 72 (2018), 277-285.
[OSY]	M. Ono, S. Seki and S. Yamamoto, Truncated $t$-adic symmetric multiple zeta values and double shuffle relations, arXiv:2009.04112.
[R]	J. Rosen, Asymptotic relations for truncated multiple zeta values, J. London Math. Soc. (2) 91 (2015), 554-572.
[S1]	関真一朗, 「 $\mathcal{F}$ -有限多重ゼータ値」から「 $\widehat{\mathcal{F}}$ -有限多重ゼータ値」へ: ただし, $\mathcal{F} = \AA$ or $\SS$ , 第 26 回整数論サマースクール報告集, 2018.
[S]	S. Seki, The p-adic duality for the finite star-multiple polylogarithms, Tohoku Math. J. (2) 71 (2019), 111-122.
[SW]	S. Saito and N. Wakabayashi, Sum formula for finite multiple zeta values, J. Math. Soc. Japan 67 (2015), 1069-1076.
[SY]	S. Seki and S. Yamamoto, Ohno-type identities for multiple harmonic sums, J. Math. Soc. Japan 72 (2020), 673-686.