たけのこ赤軍の自由帳

数論とかNonaReevesとかが好きな高校生のブログ。

The q-multiple gamma functions of Barnes-Milnor type

っていうタイトルの論文を arXiv に投稿しました。

[1905.08068] The $q$-multiple gamma functions of Barnes-Milnor type


黒川-落合による BM 型ガンマ関数

\begin{eqnarray*}\displaystyle\Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\left.\frac{\partial}{\partial s}\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}})\right|_{s=-k}\right)\end{eqnarray*}

と黒川の q-多重ガンマ関数

\begin{eqnarray*}\displaystyle\Gamma_r^q(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{\Gamma_{r+1}(w;({\boldsymbol{\omega}},\tau'))\Gamma_{r+1}(w;({\boldsymbol{\omega}},-\tau'))}{\Gamma_r(w;{\boldsymbol{\omega}})}\end{eqnarray*}

の両方を含む一般化として q-BM 型多重ガンマ関数

\begin{eqnarray*}\displaystyle\Gamma_{r,k}^q(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{\Gamma_{r+1,k}(w;({\boldsymbol{\omega}},\tau'))\Gamma_{r+1,k}(w;({\boldsymbol{\omega}},-\tau'))}{\Gamma_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})}\end{eqnarray*}

を導入し、それに対する倍角公式、周期変形、ラーベの公式を示したものです。ほかに、田中による積表示

\begin{eqnarray*}\displaystyle\Gamma^q_r(w;{\boldsymbol{\omega}})=\prod_{\mathbf{n}\geq\mathbf{0}}(1-q^{\mathbf{n}\cdot{\boldsymbol{\omega}}+w})^{-1}\end{eqnarray*}

q-BM型多重ガンマ関数にも一般化し、その系として上記三つの公式が容易に得られること、および渋川による消滅定理

\begin{eqnarray*}\displaystyle\zeta_r^q(-n,w;{\boldsymbol{\omega}})=0\end{eqnarray*}

も得られることを示しました。