たけのこ赤軍の自由帳

反復積分とNona ReevesとPrinceとRED SPIDER

複素変数大野関係式

この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:
The New Power Generation - Get Wild

Prince (New Power Generation) performing 'Get Wild' on The White Room



ゼータ Advent Calendar 2019 - Adventar へようこそ。本記事は 10 日目の記事です。



最初に、本記事の完成が盛大に遅れたことをお詫び申し上げます。2 日目の記事もすぐ仕上げます...




前回に引き続き大野関係式の話です。前回の記事は

o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.com

を、大野関係式自体の仔細は

integers.hatenablog.com

をご覧ください。



さて今回はこの論文

[1808.07203] An interpolation of Ohno's relation to complex functions

の主定理についてお話します。これは大野関係式の「複素数への補間」をもたらします。



とりあえず大野関係式についての (前回のほぼコピペですが) 復習を。

r を正整数とし、 \boldsymbol{k}=(k_1,\cdots,k_r) を正整数 r 個の組とします。このような \boldsymbol{k} をインデックスと呼びます。最後の成分 k_r2 以上のとき、\boldsymbol{k} を許容インデックスと呼びます。

許容インデックス \boldsymbol{k} に対し、多重ゼータ値 (multiple zeta value, MZV) を以下で定義します:

\displaystyle \zeta(\boldsymbol{k}) := \sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}

\boldsymbol{k} が許容的なのでこの級数は収束します。


次に双対性を state します。許容インデックス \boldsymbol{k}=(k_1,\cdots,k_r) は正整数 a_1,b_1,\cdots,a_s,b_s による一意な表示

\boldsymbol{k}=(\underbrace{1,\cdots,1}_{a_1-1},b_1+1,\cdots,\underbrace{1,\cdots,1}_{a_s-1},b_s+1)

を持つので、これによって \boldsymbol{k}^{\dagger}

\boldsymbol{k}=(\underbrace{1,\cdots,1}_{b_s-1},a_s+1,\cdots,\underbrace{1,\cdots,1}_{b_1-1},a_1+1)

と定めます。



このとき、次の定理が成り立ちます:


[定理 (双対性)]


許容インデックス \boldsymbol{k} に対し
\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger}).

これだけでも非常に美しく非自明な定理なのですが、大野関係式はこれをさらに強くします。非負整数 m と許容インデックス \boldsymbol{k} に対し大野和を以下で定義します:

\displaystyle I_{\boldsymbol{\mathbb{k}}}(m)=\sum_{\boldsymbol{e}\geq\boldsymbol{0}, |\boldsymbol{e}|=m} \zeta(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e}).

ここで、和の変数 \boldsymbol{e}=(e_1,\cdots,e_r) は非負整数 r 個の組であって各成分の和が m であるようなものをわたり、 \oplus は各成分ごとの和とします。以降 \boldsymbol{e}\geq\boldsymbol{0} は省略します。


このとき、大野和に対しても双対性が成り立つ O_m(\boldsymbol{k})=O_m(\boldsymbol{k}^{\dagger}) と主張するのが大野関係式です。当然 m=0 とすれば \zeta(\boldsymbol{k}) の双対性が得られます。


さて複素補間を考えていきます。許容的とは限らないインデックス \boldsymbol{k}\in\mathbb{Z}^r_{\geq 1}複素数 s に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle I_{\boldsymbol{k}}(s)=\sum_{i=1}^r \sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\frac{1}{n_i^s}\prod_{j\neq i}\frac{n_j}{n_j-n_i}\end{eqnarray*}

と定めます。ここで積の条件 j\neq ii でない整数 j=1,\cdots,r をわたるものと約束します。

この関数 I_{\boldsymbol{k}}(s) が大野和の一般化になっていることを次の補題で確認します。


[補題1]


r 個の実数 a_1,\cdots,a_r と非負整数 m に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle\sum_{|\boldsymbol{e}|=m} a_1^{e_1}\cdots a_r^{e_r}=\sum_{i=1}^r a_i^{m+r-1}\prod_{j\neq i}(n_i-n_j)^{-1}\end{eqnarray*}

が成り立つ.

証明.
i=1,\cdots,r に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle A_i=a_i^{r-1}\prod_{j\neq i} (a_i-a_j)^{-1}\end{eqnarray*}

とおきます。補題の両辺の m に関する母関数をとって、

\begin{eqnarray*}\displaystyle\prod_{i=1}^r \frac{1}{1-a_ix}=\sum_{i=1}^r \frac{A_i}{1-a_ix}\end{eqnarray*}

を示すことにしましょう。両辺に (1-a_ix) の積をかけることで分母を払い、示したい等式が

\begin{eqnarray*}\displaystyle 1&=&\sum_{i=1}^r A_i\prod_{j\neq i} (1-a_jx)\\&=&\sum_{i=1}^r \prod_{j\neq i} \frac{x-a_j^{-1}}{a_i^{-1}-a_j^{-1}}\end{eqnarray*}

のように変形できるので、Lagrange 補間

mathtrain.jp

が適用できます。具体的には r\{(a_i^{-1},1)\} に対し Lagrange 補間を適用することで上記等式が示せます。[証明終わり]


この補題を大野和の定義 (多重ゼータ値の線型和のほう) に適用することで、複素変数の I_{\boldsymbol{k}}(s)s=m としたものと一致することが確認できます。

次の補題は有名です (証明は Apostol の教科書 Introduction to Analytic Number Theory などを参照)。


[補題2]


ある実数 \sigma に対し \mathrm{Re}(s)>\sigma 上で絶対収束する二つの Dirichlet 級数

\begin{eqnarray*}\displaystyle F_i(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{i,n}}{n^s} \, & (i=1,2)\end{eqnarray*}

が与えられているとする。実部が正の無限大に発散するような列 \{s_{\lambda}\} が存在して各 \lambda に対し F_i(s_{\lambda})i に依存しなければ F_1=F_2 となる。

i に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle\sum_{n_i=i}^{\infty} n_i^{-s} \left(\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}\prod_{j\neq i}\frac{n_j}{n_j-n_i}\right)\end{eqnarray*}

は明らかに Dirichlet 級数です (カッコ内の和では n_i を固定していることに注意)。なので、必然的に I_{\boldsymbol{k}}(s) も Dirichlet 級数です。F_1(s)=I_{\boldsymbol{k}}(s),\,F_2(s)=I_{\boldsymbol{k^{\dagger}}}(s) とおけば、大野関係式より非負整数 \lambda に対し F_i(\lambda)i に依存せず定まります。従って s_{\lambda}=\lambda\in\mathbb{Z}_{\geq 0} と選ぶことで補間大野和とその双対 F_i(s)補題 2 の仮定を満足し、F_1(s)=F_2(s) がいえます。これが示したいことでした。[主定理の証明終わり]


Acknowledgements. 原論文の Lemma 2.1 (本記事での補題 1) の証明を教えてくださった Oddie さん @math_elliptic、ADE さん @grand_antiprism、Kuma さん @notori48 に感謝します。こいついつも最初の補題の証明人任せだな