たけのこ赤軍の自由帳

反復積分とNona ReevesとPrinceとRED SPIDER

二重大野関係式

この記事はこの曲を聴きながら読むのがオススメです:
Prince - Ripopgodazippa

04.Ripopgodazippa



日曜数学 Advent Calendar 2019 - Adventar へようこそ。本記事は 3 日目の記事です。



多重ゼータ値間の関係式はたくさん知られていますが、それらの中でもひときわ強い輝きを放っているものに「大野関係式」というものがあります。ところが 2019 年 10 月、以下の論文がarXiv にアップロードされました;

[1910.07740] Linear relations of Ohno sums of multiple zeta values

これはいわば「大野大野関係式」とでも呼ぶべき関係式が見つかったという論文です。本記事はこの論文の、該当する定理の証明について行間を埋めながら和訳するものです。


まずは大野関係式について復習しましょう: r を正整数とし、 \boldsymbol{k}=(k_1,\cdots,k_r) を正整数 r 個の組とします。このような \boldsymbol{k} をインデックスと呼びます。最後の成分 k_r2 以上のとき、\boldsymbol{k} を許容インデックスと呼びます。

許容インデックス \boldsymbol{k} に対し、多重ゼータ値 (multiple zeta value, MZV) を以下で定義します:

\displaystyle \zeta(\boldsymbol{k}) := \sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}

\boldsymbol{k} が許容的なのでこの級数は収束します。


次に双対性を state します。\mathfrak{H}=\mathbb{Q}\langle x,y\rangle を有理係数二変数非可換多項式環 (Hoffman 代数とかよくいいます) とし、\mathbb{Q}-線型写像  Z:y\mathfrak{H}x\to\mathbb{R}Z(yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1})=\zeta(k_1,\cdots,k_r) で定めます。(線型写像と言っているので係数 1 の単項式の行き先だけで Z は決まり、さらに y\mathfrak{H}x の任意のそういった単項式は yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1} の形で一意に書けるのでこういう定め方ができます)


さて上の議論から y\mathfrak{H}x の単項式 yx^{k_1-1}\cdots yx^{k_r-1} と許容インデックス \boldsymbol{k}=(k_1,\cdots,k_r) に一対一の対応がつくことがわかりました。これを使って、与えられた許容インデックス \boldsymbol{k} の双対 \boldsymbol{k}^{\dagger}y^{k_r-1}x\cdots y^{k_1-1}x に対応する許容インデックスと定義します。これは次のようにも言い換えられます: 許容インデックス \boldsymbol{k}=(k_1,\cdots,k_r) は正整数 a_1,b_1,\cdots,a_s,b_s による一意な表示

\boldsymbol{k}=(\underbrace{1,\cdots,1}_{a_1-1},b_1+1,\cdots,\underbrace{1,\cdots,1}_{a_s-1},b_s+1)

を持つので, これによって \boldsymbol{k}^{\dagger}

\boldsymbol{k}=(\underbrace{1,\cdots,1}_{b_s-1},a_s+1,\cdots,\underbrace{1,\cdots,1}_{b_1-1},a_1+1)

と定めます。



このとき、次の定理が成り立ちます:


[定理 (双対性)]


許容インデックス \boldsymbol{k} に対し
\zeta(\boldsymbol{k})=\zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger}).

これだけでも非常に美しく非自明な定理なのですが、大野関係式はこれをさらに強くします。非負整数 m と許容インデックス \boldsymbol{k} に対し大野和を以下で定義します:

\displaystyle O_m(\boldsymbol{k})=\sum_{\boldsymbol{e}\geq\boldsymbol{0}, |\boldsymbol{e}|=m} \zeta(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e}).

ここで、和の変数 \boldsymbol{e}=(e_1,\cdots,e_r) は非負整数 r 個の組であって各成分の和が m であるようなものをわたり、 \oplus は各成分ごとの和とします。以降 \boldsymbol{e}\geq\boldsymbol{0} は省略します。


このとき、大野和に対しても双対性が成り立つ O_m(\boldsymbol{k})=O_m(\boldsymbol{k}^{\dagger}) と主張するのが大野関係式です。当然 m=0 とすれば \zeta(\boldsymbol{k}) の双対性が得られます。大野関係式そのものの証明は補題 5 で行います。




さてこれから二重大野関係式を考えていきます。ステートメントは以下です: d,n_0,\cdots,n_{2d} を非負整数とし、インデックス \boldsymbol{k}y\mathfrak{H}x の単項式で書いたとき  y(xy)^{m_0}(yx)^{m_1+1}(xy)^{m_2+1}\cdots (yx)^{m_{2d-1}+1}(xy)^{m_{2d}}x と書けるものとします。このとき二重大野和を

\displaystyle O^2_{m_1,m_2}(\boldsymbol{k})=\sum_{|\boldsymbol{e}|=m_2} O_{m_1}(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})

で定めると、これに関して双対性 O^2_{m_1,m_2}(\boldsymbol{k})=O^2_{m_1,m_2}(\boldsymbol{k}^{\dagger}) が成り立つというのが二重大野関係式です。インデックスの条件を言い換えると、非負整数 n_i\,(i=0,\cdots,2d) による表示

\boldsymbol{k}=(\underbrace{2,\cdots,2}_{n_0},1,\underbrace{2,\cdots,2}_{n_1},3,\cdots,\underbrace{2,\cdots,2}_{n_{2d-2}},1,\underbrace{2,\cdots,2}_{n_{2d-1}},3,\underbrace{2,\cdots,2}_{n_{2d}})

を持つようなもの、となります。



証明に際していくつか記号を準備していきます。

まず \tau:\frak{H}\to \frak{H} を単項式の変数を入れ替えて逆に読むことで定まる反自己同型 (つまり x^{n_1}y^{n_2}\cdots x^{n_{2d-1}}y^{n_{2d}}x^{n_{2d}}y^{n_{2d-1}}\cdots x^{n_2}y^{n_1} にうつし、定数倍を保存する写像) とし、\tau'x,y を入れ替えるだけで逆読みはしない自己同型とします。要するに \tau は双対をとる写像ですね。

次に \widehat{\frak{H}}=\mathbb{Q}\langle\langle x,y\rangle\rangle (非可換な冪級数環) とし、自己同型 \sigma:\widehat{\frak{H}}[[t]]\to\widehat{\frak{H}}[[t]]\sigma(x)=x, \sigma(y)=y(1-xt)^{-1} で定めます。これを使って非負整数m に対し \mathbb{Q}-線型写像 \sigma_m:\frak{H}\to\frak{H}\sigma をあててからt の次数が m の項をとる写像として定めます。

最後に線型写像 T:\frak{H}\to\frak{H} を単項式の単なる逆読み写像 (変数は入れ替えない) とし、I:\{\text{許容インデックス}\}\to\frak{H} を単項式に読み替える写像とします。

このとき

\begin{eqnarray*}\displaystyle \sigma I(\boldsymbol{k})&=&y(1-xt)^{-1}x^{k_1-1}\cdots y(1-xt^{-1})x^{k_r-1}\\&=&\sum_{e_1,\cdots,e_r\geq 0} yx^{k_1+e_1-1}\cdots yx^{k_r+e_r-1}t^{e_1+\cdots+e_r}\end{eqnarray*}

であるので、

\displaystyle\sigma_mI(\boldsymbol{k})=\sum_{|\boldsymbol{e}|=m} I(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})

とわかります。定義より明らかに I(\boldsymbol{k}^{\dagger})=\tau I(\boldsymbol{k}) なので、結局二重大野関係式は次のように書き換えることができます:


[定理 (二重大野関係式)]


任意の w\in y\mathbb{Q}\langle xy,yx\rangle x と非負整数 m_1,m_2 に対し (\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}-\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,Z.



[補題1]


u\in\{x,y\} に対し S_u:\mathfrak{H}u\in vu\mapsto uv\in u\mathfrak{H} としたとき、\mathfrak{H}y 上で S^{-1}_y\sigma S_y=T\sigma T.

証明.
S^{-1}_y\sigma S_y, T\sigma T はともに \mathfrak{H}y 上の線型写像なので、単項式 wy (w\in\mathfrak{H}) に対していえば十分であることがわかります。

\begin{eqnarray*}\displaystyle S^{-1}_y\sigma S_y(wy)&=&S^{-1}_y\sigma(yw)\\&=&S^{-1}_y(y(1-xt)^{-1}\sigma(w))\\&=&(1-xt)^{-1}\sigma(w)y\end{eqnarray*}

である一方

\begin{eqnarray*}\displaystyle T\sigma T(wy)&=&T\sigma(yT(w))\\&=&T(y(1-xt)^{-1}\sigma T(w))\\&=&T\sigma T(w)(1-xt)^{-1}y\end{eqnarray*}

なので、結局 (1-xt)^{-1}\sigma(w)=T\sigma T(w)(1-xt)^{-1} をいえばいいことになります。ここで w の長さに関する帰納法を使います: w=x^n (n は非負整数) のときは自明で、次に w=w'yx^n とおくと

\begin{eqnarray*}\displaystyle T\sigma T(w)(1-xt)^{-1}&=&T\sigma (x^nyT(w'))(1-xt)^{-1}\\&=&T(x^ny(1-xt)^{-1}\sigma T(w'))(1-xt)^{-1}\\&=&T\sigma T(w')(1-xt)^{-1}yx^n(1-xt)^{-1}\end{eqnarray*}

ですが、帰納法の仮定によりこれは (1-xt)^{-1}\sigma(w')yx^n(1-xt)^{-1} に等しいです。一方で

\begin{eqnarray*}\displaystyle (1-xt)^{-1}\sigma(w)=(1-xt)^{-1}\sigma(w')y(1-xt)^{-1}x^n\end{eqnarray*}

なので主張を得ます。[証明終わり]


[補題2]




(1) y\mathfrak{H} 上で \tau'S^{-1}_y=S^{-1}_x\tau'.

(2) \mathfrak{H}x 上で S_y\tau'=\tau'S_x.

(3) x\mathfrak{H} 上で S_x^{-1}\sigma=\sigma S^{-1}_x.

証明.
いずれも両辺は \mathbb{Q}-線型なので単項式に対して示せばよいです。

(1)
\begin{eqnarray*}\displaystyle \tau'S^{-1}_y(yw)&=&\tau'(wy)\\&=&\tau'(w)x\\&=&S^{-1}_x(x\tau'(w))\\&=&S^{-1}_x\tau'(yw).\end{eqnarray*}

(2)
\begin{eqnarray*}\displaystyle S_y\tau'(wx)&=&S_y(\tau'(w)y)\\&=&y\tau'(w)\\&=&\tau'(xw)\\&=&\tau'S_x(wx).\end{eqnarray*}

(3)
\begin{eqnarray*}\displaystyle S^{-1}_x\sigma(xw)&=&S^{-1}_x(x\sigma(w))\\&=&\sigma(w)x\\&=&\sigma(wx)\\&=&\sigma S^{-1}_x(xw).\end{eqnarray*}
[証明終わり]


[補題3]


任意の w\in y\mathbb{Q}\langle xy,yx\rangle x と非負整数 m_1,m_2 に対し \sigma_{m_1}\tau\sigma_{m_2}\tau(w)=\tau\sigma_{m_2}\tau\sigma_{m_1}(w).

証明.
i=1,2 に対し \sigma^{(i)}\sigma^{(i)}(x)=x,\,\sigma^{(i)}(y)=y(1-xt_i)^{-1} で定まる \tilde{\mathfrak{H}}=\widehat{\mathfrak{H}}[[t_1,t_2]] 上の自己同型としたとき、この補題の等式は

\sigma^{(1)}\tau\sigma^{(2)}\tau(w)=\tau\sigma^{(2)}\tau\sigma^{(1)}(w)

と同値なので、以降これを示します。\tau=\tau'T=T\tau' は定義より明らかなので、補題1,2より

\begin{eqnarray*}\displaystyle \sigma^{(1)}\tau\sigma^{(2)}\tau&=&\sigma^{(1)}\tau'T\sigma^{(2)}T\tau'\\&=&\sigma^{(1)}\tau'S_y^{-1}\sigma^{(2)}S_y\tau'\\&=&\sigma^{(1)}S_x^{-1}\tau'\sigma^{(2)}\tau'S_x\\&=&S^{-1}_x\sigma^{(1)}\tau'\sigma^{(2)}\tau'S_x\end{eqnarray*}

となります。まったく同じ議論を \tau\sigma^{(2)}\tau\sigma^{(1)} でも行うことで、

\begin{eqnarray*}\displaystyle\tau\sigma^{(2)}\tau\sigma^{(1)}=S^{-1}_x\tau'\sigma^{(2)}\tau'\sigma^{(1)}S_x\end{eqnarray*}

がわかります。(当然これらの等式は \tilde{\mathfrak{H}}x 上で成り立つものです。) この二つの等式から

\begin{eqnarray*}\displaystyle S^{-1}_x\sigma^{(1)}\tau'\sigma^{(2)}\tau'S_x=S^{-1}_x\tau'\sigma^{(2)}\tau'\sigma^{(1)}S_x\end{eqnarray*}

をいえばいいことになりますが、両辺の S_x^{-1}S_x で囲まれた部分はともに \tilde{\mathfrak{H}} 上の環準同型なので、結局のところ等式

\begin{eqnarray*}\displaystyle \sigma^{(1)}\tau'\sigma^{(2)}\tau'=\tau'\sigma^{(2)}\tau'\sigma^{(1)}\end{eqnarray*}

\{xy,yx\} 上で示せば十分です。ここで明らかに \sigma^{(1)}\tau'\sigma^{(2)}\tau'(yx)=\tau'\tau'\sigma^{(1)}\tau'\sigma^{(2)}(xy)\tau'\sigma^{(2)}\tau'\sigma^{(1)}(yx)=\tau'\sigma^{(2)}\tau'\sigma^{(1)}\tau'(xy) なので、対称性より xy についていえば十分となります。定義通りに両辺を計算すると

\begin{eqnarray*}\displaystyle \sigma^{(1)}\tau'\sigma^{(2)}\tau'(xy)&=&xy(1-xt_1)^{-1}(1-y(1-xt_1)^{-1}t_2)^{-1}\\&=&xy(1-xt_1-xt_2)^{-1}\\\tau'\sigma^{(2)}\tau'\sigma^{(1)}(xy)&=&xy(1-xt_1-xt_2)^{-1}\end{eqnarray*}

となり、補題が示せました。
[証明終わり]




[補題4]


V\mathbb{Q}-ベクトル空間、\tilde{Z}:y\mathfrak{H}x\to V\mathbb{Q}-線型写像とし、任意の非負整数 mw\in y\mathfrak{H}\rangle x に対し (\sigma_m-\tau\sigma_m\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,\tilde{Z} を仮定する。このとき任意の非負整数 m_1,m_2w\in y\mathbb{Q}\langle xy,yx\rangle x に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle (\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}-\tau\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,\tilde{Z}\end{eqnarray*}

が成り立つ。


証明.
明らかに

\begin{eqnarray*}\displaystyle\tilde{Z}(\tau\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}\tau(w))=\tilde{Z}(\tau\sigma_{m_1}\tau\tau\sigma_{m_2}\tau(w))\end{eqnarray*}

ですが、仮定を m_1\tau\sigma_{m_2}\tau(w) に対して使うと

\begin{eqnarray*}\displaystyle\tilde{Z}(\tau\sigma_{m_1}\tau\tau\sigma_{m_2}\tau(w))=\tilde{Z}(\sigma_{m_1}\tau\sigma_{m_2}\tau(w))\end{eqnarray*}

となり、補題 3 が使えて

\begin{eqnarray*}\displaystyle\tilde{Z}(\sigma_{m_1}\tau\sigma_{m_2}\tau(w))=\tilde{Z}(\tau\sigma_{m_2}\tau\sigma_{m_1}(w))\end{eqnarray*}

となります。ここで再び仮定を、今度は m_2\sigma_{m_1}(w) に対して使うことで

\begin{eqnarray*}\displaystyle\tilde{Z}(\tau\sigma_{m_2}\tau\sigma_{m_1}(w))&=&\tilde{Z}(\sigma_{m_2}\sigma_{m_1}(w))\\&=&\tilde{Z}(\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}(w))\end{eqnarray*}

となり、主張が示せました。

証明終わり.




[補題5 (大野関係式)]


任意の非負整数 mw\in y\mathfrak{H}x に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle (\sigma_m-\sigma_m\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,Z\end{eqnarray*}

が成り立つ。


証明.
これは Hoffman 代数での主張ですが、最初に示した等式

\displaystyle\sigma_mI(\boldsymbol{k})=\sum_{|\boldsymbol{e}|=m} I(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})

より、多重ゼータ値のことばで書き直すと

\begin{eqnarray*}\displaystyle \sum_{|\boldsymbol{e}|=m} \zeta(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})=\sum_{|\boldsymbol{e}'|=m} \zeta(\boldsymbol{k}^{\dagger}\oplus\boldsymbol{e}')\end{eqnarray*}

となります。最初でもそうしていたように、左辺を O_m(\boldsymbol{k}) と書くことにします。これの m に関する母関数をとり、これを Z(\boldsymbol{k};x) とかくことにすると、結局は双対性 Z(\boldsymbol{k};x)=Z(\boldsymbol{k}^{\dagger};x) を示せばよいことになります。Z(\boldsymbol{k};x) は定義より

\begin{eqnarray*}\displaystyle Z(\boldsymbol{k};x)&=&\sum_{\boldsymbol{e}} \zeta(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e})x^{|\boldsymbol{e}|}\\&=&\sum_{e_1,\cdots,e_r\geq{0}}\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r} \frac{x^{e_1+\cdots+e_r}}{n_1^{k_1+e_1}\cdots n_r^{k_r+e_r}}\\&=&\sum_{0 < n_1 < \cdots < n_r} \frac{1}{n_1^{k_1-1}(n_1-x)\cdots n_r^{k_r-1}(n_r-x)}\end{eqnarray*}

となります。ここでインデックス \boldsymbol{k}=(k_1,\cdots,k_r), \boldsymbol{l}=(l_1,\cdots,l_s) に対し

\begin{eqnarray*}\displaystyle Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l};x)=\sum_{0 < m_1 < \cdots < m_r\atop{0 < n_1 < \cdots < n_s}} \frac{(1-x)_{m_r}(1-x)_{n_s}}{(1-x)_{m_r+n_s}}\prod_{i=1}^r\frac{1}{m_i^{k_i-1}(m_i-x)}\prod_{j=1}^s\frac{1}{n_j^{l_j-1}(n_j-x)}\end{eqnarray*}

とおきます。ただし (x)_N=\Gamma(x+N)/\Gamma(x) は Pochhammer 記号です。このとき明らかに対称性 Z(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l};x)=Z(\boldsymbol{l};\boldsymbol{k};x) が成り立ち、また非負整数 R,N に対して成り立つ簡単な等式

\begin{eqnarray*}\displaystyle \sum_{M=R+1}^{\infty} \frac{(1-x)_M(1-x)_N}{(1-x)_{M+N}}=\frac{(1-x)_{R}(1-x)_{N}}{(1-x)_{R+N}}\end{eqnarray*}

から Z(\boldsymbol{k},k_{r+1}+1;\boldsymbol{l};x)=Z(\boldsymbol{k},k_{r+1};\boldsymbol{l},1;x) もわかります。この関係式を繰り返し適用することで双対性 Z(\boldsymbol{k};x)=Z(\boldsymbol{k}^{\dagger};x) が得られます。
証明終わり.



[定理 (二重大野関係式)]


任意の w\in y\mathbb{Q}\langle xy,yx\rangle x と非負整数 m_1,m_2 に対し (\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}-\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,Z.

証明.
補題 5 において m=0 とすると (1-\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,Z となる (これは明らかに MZV の双対性です) ので、これを (\sigma_m-\sigma_m\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,Z において適用することで (\sigma_m-\tau\sigma_m\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,Z となります。したがって補題 4 において (V,\tilde{Z})=(\mathbb{R},Z) と選ぶと仮定が満たされているので

\begin{eqnarray*}\displaystyle (\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}-\tau\sigma_{m_1}\sigma_{m_2}\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,Z\end{eqnarray*}

が成り立つことがわかります。一方先ほど使った MZV の双対性 (1-\tau)(w)\in\mathrm{Ker}\,Z より上記等式の最初の \tau を除去できて、定理を得ます。
証明終わり.


Acknowledgements. 原論文の行間埋めに詰まっていたところ、補題 1 の証明を与えてくれた Oddie さん @math_elliptic さんに感謝します。また、全体的な議論に付き合ってくださった GSC ROOT プログラムの皆さん (特に 後藤珀斗 くん) に感謝します。