たけのこ赤軍の自由帳

反復積分とNona ReevesとPrinceとRED SPIDER

The structure of some operators of q-multiple gamma functions

メモ書きのような体裁で申し訳ありませんが, 忘れないうちに.


まず Shibukawa-Tanaka 型 q-multiple zeta:

\begin{eqnarray*}\displaystyle \zeta_r^q(s,w;{\boldsymbol{\omega}})=\sum_{b=\pm 1}\zeta_{r+1}(s,w;{\boldsymbol{\omega}},b\tau')-\zeta_r(s,w;{\boldsymbol{\omega}}).\end{eqnarray*}

とりあえず w,\omega_i は片側条件 (SOC のほうがいいか) を満たし, \tau' は上半平面の元とします.

\log\Gamma_{r,k}^q(w;{\boldsymbol{\omega}})=\frac{\partial}{\partial s}\zeta^q_r(-k,w;{\boldsymbol{\omega}})

は q-BM type multiple gamma. ぼくが導入した type の奴です. これは微分での reduction 条件 (Kinkelin's formula)

\frac{d}{dw}\log\Gamma^q_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=k\log\Gamma^q_{r,k-1}(w;{\boldsymbol{\omega}})

を満たします. また ladder structure もあります. そして Tanaka type product expression が

\Gamma^q_{r,k}(w;{\boldsymbol{\omega}})=\exp\left(\frac{k!}{(\log q)^k}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{q^{nw}}{n^{k+1}\prod_{j=1}^r (1-q^{n\omega_i})}\right)

です. Kinkelin と ladder はここから自明.



まぁとりあえず, 中身を抜き出しておきます:

\begin{eqnarray*}\displaystyle L_{r,k}(x;{\bf q}):=\sum_{n\geq{1}} \frac{x^n}{n^k\prod_{i=1}^r (1-q_i^n)}.\end{eqnarray*}

こうすると

\begin{eqnarray*}\displaystyle L_{r,k}(x;{\bf q})-L_{r,k}(xq_i;{\bf q})&=&L_{r-1,k}(x;{\bf q}\langle{i}\rangle)\\\frac{d}{dw}L_{r,k}(x;{\bf q})&=&L_{r,k-1}(x;{\bf q})\\\lim_{q_i\to 1}(1-q_i)L_{r,k}(x;{\bf q})&=&L_{r-1,k+1}(x;{\bf q})\\\sum_{m=0}^{\infty} L_{r,k}(xq_{r+1}^m;{\bf q})&=&L_{r+1,k}(x;{\bf q},q_{r+1})\end{eqnarray*}

ですね. それぞれ上から ladder, Kinkelin, Raabe と対応しますが, 一番下は何でしょうね. もしかしたら Shintani type product かな ? まぁともかく, これらを作用素と思って, 上から P_x, K, R_x, S_x と書くことにします (変数は当然動かすもの). そうすると R_x=K^{-1}P_x, S_x=P_x^{-1} ですね. 要するに (いまは) 本質的には P_x, K だけということです. なのでとりあえず今はこれらを生成元にした代数を考えたいですね (何かイイ感じの環係数の二変数多項式環の word とおもったほうがいいかも.).

まぁともかく, L_{r,k} はなんかいいかんじの polylog の一般化と思えそうなので, それらの parameter をある程度自由に調整できる作用素がほしかったわけです. r=0 (古典全振り) ならただの polylog になりますし, k=1 (量子全振り) なら Narukawa の q-polylog になります. せきゅーんさんの言葉を借りれば, 一般の L_{r,k} は ``変身途中" みたいなものですね. ねむい, 明日 (今日) は複素代数幾何のセミナー発表ですが準備ぜんぜんおわってないです. 層むずい. Hartshorne で勉強したら fiber space の感覚にはなれないですね.





ところで, L_{r,k} の分母, 普通のべき乗と何かの変数が絡んだ因子が混ざり合ってるわけですけど, これ Ohno sum の母関数ににてませんか.